《2025年名校课堂六年级数学上册鲁教版山东专版54制》

【例】(临沂中考)将一些相同的“$◯$”按如图所示摆放，观察每个图形中的“$◯$”的个数，若第$n$个图形中“$◯$”的个数是$78$，则$n$的值是(B)

【思路点拨】第$1$个图形有$1$个小圆；
第$2$个图形有$1 + 2 = 3$个小圆；
第$3$个图形有$1 + 2 + 3 = 6$个小圆；
第$4$个图形有$1 + 2 + 3 + 4 = 10$个小圆；
第$n$个图形有$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$个小圆；
小圆个数为$78$时，可求出$n$的值。

A.$11$
B.$12$
C.$13$
D.$14$

答案： 【例】 B

【跟踪训练】下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“$◯$”代表窗纸上所贴的剪纸，则第$n$个图中所贴剪纸“$◯$”的个数为(C)


A.$3n$
B.$3n + 1$
C.$3n + 2$
D.$3n + 3$

答案： 【跟踪训练】 C

1.(百色中考)观察以下一列数的特点：$0$，$1$，$-4$，$9$，$-16$，$25$，$\cdots$，则第$11$个数是(B)

A.$-121$
B.$-100$
C.$100$
D.$121$

答案： 1.B

2. 观察一串数：$0$，$2$，$4$，$6$，$\cdots$，则第$n$个数是(A)

A.$2(n - 1)$
B.$2n - 1$
C.$2(n + 1)$
D.$2n + 1$

答案： 2.A

3. 观察：$a_1 = 1 - \frac{1}{3}$，$a_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$，$a_3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$，$a_4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$，$\cdots$，则$a_n =$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}($n = 1$，$2$，$3$，$\cdots$)。

答案： $3.\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$

4.(烟台中考)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第$n$个图形中有$120$朵玫瑰花，则$n$的值为(C)


A.$28$
B.$29$
C.$30$
D.$31$

答案： 4.C

5.（济宁任城区期末）如图所示的是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第$1$个图案有$4$个三角形，第$2$个图案有$7$个三角形，第$3$个图案有$10$个三角形$\cdots\cdots$

（1）按此规律摆下去，第$6$个图案有多少个三角形？
（2）按此规律摆下去，第$n$个图案有多少个三角形（用含$n$的代数式表示）？
（3）按此规律摆下去，第$2023$个图案有多少个三角形？

答案： 5.解：
(1)第1个图案有4个三角形，即4=3×1+1；第2个图案有7个三角形，即7=3×2+1；第3个图案有10个三角形，即10=3×3+1；第4个图案有13个三角形，即13=3×4+1；……第6个图案有19个三角形，3×6+1=19.
(2)按此规律摆下去，第n个图案有(3n+1)个三角形.
(3)当n=2023时，3n+1=3×2023+1=6070.答：第2023个图案有6070个三角形.