《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

7.已知关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(m + 2)x+\frac{m}{4}=0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$.若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4m$，则$m$的值是(A).

A.$2$
B.$-1$
C.$2$或$-1$
D.不存在

答案： 7.A

8.已知$a$，$b$为一元二次方程$x^{2}+2x - 9=0$的两个根，那么$a^{2}+a - b$的值为(D).

A.$-7$
B.$0$
C.$7$
D.$11$

答案： 8.D

9.请写出一个根为$x = 1$，另一个根为$x=-3$的一个一元二次方程$x^{2}+2x-3=0($答案不唯一).

答案： $9.x^{2}+2x - 3=0($答案不唯一)

10.若关于$x$的方程$x^{2}+(a - 1)x + a^{2}=0$的两根互为倒数，则$a=$-1.

答案： 10.-1

11.已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x + 2m=0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$.若$x_1 - 2x_2=6$，则实数$m$的值为-2.

答案： 11.-2

12.在解一元二次方程$x^{2}+bx + c$时，小明看错了一次项系数$b$，得到的解为$x_1=2$，$x_2=3$；小刚看错了常数项$c$，得到的解为$x_1=1$，$x_2=4$.请你写出正确的一元二次方程$x^{2}-5x+6=0$.

答案： $12.x^{2}-5x + 6=0$

13.关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，且$(1 + x_1)(1 + x_2)=3$，求$k$的值.

答案： $13.(1)k＞-\frac{1}{4} (2)k=3$

14.已知关于$x$的方程$x^{2}+(m + 2)x + 2m - 1=0$.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)当$m$为何值时，方程的两根互为相反数？求出此时方程的解.

答案： 14.证明：
(1)因为$\Delta=(m + 2)^{2}-4(2m - 1)=(m - 2)^{2}+4$，所以无论$m$取何值时，$\Delta＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(2)解：设方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$。因为方程的两根互为相反数，所以$x_{1}+x_{2}=0$。根据方程的根与系数的关系得$m + 2=0$，解得$m=-2$，所以原方程可化为$x^{2}-5=0$，解得$x_{1}=\sqrt{5}$，$x_{2}=-\sqrt{5}$。