《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

6. 如图，某零件的外径为$10 cm$，用一个交叉卡钳(两条尺长$AC$和$BD$相等)可测量零件的内孔直径$AB$.如果$OA : OC = OB : OD = 3$，且量得$CD = 3 cm$，则零件的厚度$x$为(B).

A.$0.3 cm$
B.$0.5 cm$
C.$0.7 cm$
D.$1 cm$

答案： 6.B

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是边$BA$，$CA$延长线上的点，且$DE // BC$.如果$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{5}$，$CE = 4$，那么$AE$的长为$\frac{3}{2}$.

答案： 7.$\frac{3}{2}$

8. 如图，已知有两堵墙$AB$，$CD$，墙$AB$高$2$米，两墙之间的距离$BD$为$8$米，小明将一架木梯放在距$B$点$3$米的$P$处靠向墙$AB$时，木梯有很多露出墙外，将木梯绕点$P$旋转$90^{\circ}$靠向墙$CD$时，木梯刚好达到墙$CD$的顶端，则墙$CD$的高为7.5米.

答案： 8.7.5米

9. 如图所示，$\angle ABC = \angle D = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$BC = 4$，当$BD =$$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$时，图中两直角三角形相似.

答案： 9.$\frac{12}{5}$或$\frac{16}{5}$

10. 如图，点$D$，$E$分别在$\triangle ABC$的$AB$，$AC$边上.只需添加一个条件即可证明$\triangle AED \backsim \triangle ACB$，这个条件可以是∠ADE = ∠C（答案不唯一）.(写出一个即可)

答案： 10.∠ADE = ∠C（答案不唯一）

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC$的垂直平分线$MN$交$AB$于点$D$，$CD$平分$\angle ACB$.若$AD = 2$，$BD = 3$，则$AC$的长$\sqrt{10}$.

答案： 11.$\sqrt{10}$

12. 希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，$A$，$B$是两侧山脚的入口，从$B$出发任意作线段$BC$，过$C$作$CD \perp BC$，然后依次作垂线段$DE$，$EF$，$FG$，$GH$，直到接近$A$点，作$AJ \perp GH$于点$J$.每条线段可测量，长度如图所示.分别在$BC$，$AJ$上任选点$M$，$N$，作$MQ \perp BC$，$NP \perp AJ$，使得$\frac{PN}{AN} = \frac{QM}{BM} = k$，此时点$P$，$A$，$B$，$Q$共线.挖隧道时始终能看见$P$，$Q$处的标志即可.
(1)$CD - EF - GJ =$1.8$ km$；
(2)$k =$$\frac{9}{13}$.

答案： 12.1.8 $\frac{9}{13}$

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 8$，$BC = 4$，$CA = 6$，$CD // AB$，$BD$是$\angle ABC$的平分线，$BD$交$AC$于点$E$.
(1)求证：$BC = CD$；
(2)求$AE$的长.

答案： 13.
(1)证明：因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD = ∠DBC.
因为CD//AB，所以∠ABD = ∠BDC，
所以∠DBC = ∠BDC，
所以BC = CD.
(2)解：因为CD//AB，所以△ABE∽△CDE，
所以$\frac{AE}{CE}$ = $\frac{AB}{CD}$.
因为AB = 8，CD = BC = 4，所以$\frac{AE}{CE}$ = $\frac{8}{4}$.
因为AE = 2CE，
又因为AE + CE = AC = 6，所以AE = 4.