《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

3.如图，$\odot O$的半径为$5$，$AB$为弦，点$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点.若$\angle ABC = 30^{\circ}$，则弦$AB$的长为(D).

A.$\frac{1}{2}$
B.$5$
C.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
D.$5\sqrt{3}$

答案： 3.D

4.如图，在等腰直角三角形$ABC$中，$AB = AC = 4$，点$O$为$BC$的中点，以$O$为圆心作$\odot O$交$BC$于点$M$，$N$，$\odot O$与$AB$，$AC$相切，切点分别为$D$，$E$，则$\odot O$的半径和$\angle MND$的度数分别为(A).

A.$2$，$22.5^{\circ}$
B.$3$，$30^{\circ}$
C.$3$，$22.5^{\circ}$
D.$2$，$30^{\circ}$

答案： 4.A

5.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点$O$为圆心的圆的一部分，如果$C$是$\odot O$中弦$AB$的中点，$CD$经过圆心$O$交$\odot O$于点$D$，并且$AB = 4\ m$，$CD = 6\ m$，则$\odot O$的半径长为$\frac{10}{3}$$\ m$.

答案： 5.$\frac{10}{3}$

6.直角三角形两边长分别为$3$，$4$，则这个直角三角形所在内切圆的半径为1或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$.

答案： 6.1或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$

7.如图，将扇形$AOB$沿$OB$方向平移，使点$O$移到$OB$的中点$O'$处，得到扇形$A'O'B'$.若$\angle O = 90^{\circ}$，$OA = 2$，则阴影部分的面积为$\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 7.$\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

8.如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$.以$AB$为直径的$\odot O$与线段$BC$交于点$D$，过点$D$作$DE \perp AC$，垂足为$E$，$ED$的延长线与$AB$的延长线交于点$P$.
$(1)$求证：直线$PE$是$\odot O$的切线；
$(2)$若$\odot O$的半径为$6$，$\angle P = 30^{\circ}$，求$CE$的长.

答案：
8.
(1)证明:连接OD,如图.
　　因为AB=AC,
　所以∠ABC=∠ACB.
　　因为OB=OD，
　所以∠ABC=∠ODB，
　所以∠ACB=∠ODB，
　所以OD//AC.
　　因为DE⊥AC，
　所以DE⊥OD,即PE⊥OD.
　　因为OD是⊙O的半径，
　所以PE是⊙O的切线.
(2)解:连接AD,连接OD,如图.
　　因为DE⊥AC，
　所以∠AEP=90°.
　　因为∠P=30°,
　所以∠PAE=60°.
　　因为AB=AC，
　所以△ABC是等边三角形，
　所以∠C=60°.
　　因为⊙O的半径为6，
　所以BC=AB=12.
　　因为AB是⊙O的直径，
　所以∠ADB=90°,
　所以BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6.
　在Rt△CDE中，
　CE=CD·cosC=6×cos60°=3.
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　

1.下列说法不正确的是(C).

A.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
B.每条边都相等的圆内接多边形是正多边形
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.有公共斜边的两个直角三角形有相同的外接圆

答案： 1.C