《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题1 如图，在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 4\sqrt{3}$，$\angle A = 60^{\circ}$，解这个直角三角形.

答案： 分析：先根据$\angle B = 90^{\circ} - \angle A$求出$\angle B$的度数，然后根据$\sin A = \frac{BC}{AB}$，求出$BC$的长，再运用勾股定理求出$AC$的长.
解：在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
因为$\sin A = \frac{BC}{AB}$，所以$\sin 60^{\circ} = \frac{BC}{4\sqrt{3}}$，所以$BC = 4\sqrt{3} · \sin 60^{\circ} = 4\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$，
所以$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{3})^{2} - 6^{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
点拨：本题运用数形结合思想和定义法解题.已知斜边和一锐角解直角三角形的一般步骤是：（1）根据$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$求出另一锐角.（2）根据$\sin A = \frac{a}{c}$求出$a$的值.（3）根据$\cos A = \frac{b}{c}$求出$b$的值或根据勾股定理求出$b$的值.

例题2（解斜三角形）如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$AC = 5$，$BC = 3$，求$\sin A$和$AB$.

答案： 过$C$作$CD \perp AB$，$D$为垂足。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，$\angle B = 45°$，$BC = 3$，
$DC = BC · \sin 45° = 3 · \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
$BD = CD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt \bigtriangleup ADC$中，$AC = 5$，$CD = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\sin A = \frac{CD}{AC} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{5} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$。
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{100 - 18}{4}} = \sqrt{\frac{82}{4}} = \frac{\sqrt{82}}{2}$。
$AB = BD + AD = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{82}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{82}}{2}$。
$\sin A = \frac{3\sqrt{2}}{10}$，$AB = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{82}}{2}$。