《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题1 已知点$(x_1,-1)$，$(x_2,-\frac{9}{4})$，$(x_3,-3)$在函数$y=-\frac{1}{x}$的图象上，比较$x_1$，$x_2$，$x_3$的大小.

答案：
分析：比较$x_1$，$x_2$，$x_3$的大小有以下三种方法：①利用性质比较.②根据表达式求出.③利用图象进行比较.
解：(方法1：性质法)由$y=-\frac{1}{x}$可知，$k=-1＜0$，所以函数$y=-\frac{1}{x}$的图象在第二、四象限内，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大.
又因为$-3＜-\frac{9}{4}＜-1＜0$，所以$x_3＜x_2＜x_1$.
(方法2：代入法)当$y=-1$时，$-1=-\frac{1}{x_1}$，解得$x_1=1$；
当$y=-\frac{9}{4}$时，$-\frac{9}{4}=-\frac{1}{x_2}$，解得$x_2=\frac{4}{9}$；
当$y=-3$时，$-3=-\frac{1}{x_3}$，解得$x_3=\frac{1}{3}$，所以$x_3＜x_2＜x_1$.
(方法3：图象法)由$y=-\frac{1}{x}$可知，$k=-1＜0$，所以函数$y=-\frac{1}{x}$的图象在第二、四象限内，如图(草图).由图象易发现，$x_3＜x_2＜x_1$.
点拨：利用函数性质解答，思路简单，但容易忽略所比较的点是否在同一象限内，以致出错；代入点的坐标，求出相应的$x$的值或$y$的值解答，思路简单、直接，但计算较麻烦；利用画函数图象的方法解答，形象、直观，且不易出错，但有点麻烦.

例题2 如图，一次函数$y_1=-\frac{1}{2}x + 4$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象交于$A(2,3)$，$B(6,n)$两点.
(1)观察图象当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是 ；
(2)求反比例函数的解析式及$B$点坐标；
(3)求$\triangle OAB$的面积.

答案： 分析：
(1)观察函数图象得到当$x＜0$或$2＜x＜6$时，一次函数图象在反比例函数图象的上方.
(2)把$A(2,3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，利用待定系数法求反比例函数的解析式；将$B(6,n)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x + 4$可求出$n$的值，即可求出$B$点坐标.
(3)求得直线与$x$轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求得.
解：
(1)根据图象可知，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＜0$或$2＜x＜6$.
故答案为$x＜0$或$2＜x＜6$.
(2)把$A(2,3)$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$m = 2×3 = 6$，所以反比例函数的解析式为$y_2=\frac{6}{x}$
将$B(6,n)$代入$y_1=-\frac{1}{2}x + 4$，得$n=-\frac{1}{2}×6 + 4 = 1$，
所以$B$点坐标为$(6,1)$.
(3)由直线$y_1=-\frac{1}{2}x + 4$可知与$x$轴的交点为$(8,0)$，
又因为$A(2,3)$，$B(6,1)$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×8×3-\frac{1}{2}×8×1 = 8$.
点拨：反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数的解析式，利用这一交点可以求两函数解析式.对于不能直接求出的三角形面积，可以将其转化为两个三角形面积的和或差来求.