《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

11.如图，在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 8$，$BC = 6$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\odot I$分别切$AC$，$BC$，$AB$于$D$，$E$，$F$.求$Rt\triangle ABC$的内心$I$与外心$O$之间的距离.

答案： 11.$\sqrt{5}$（提示：连接 ID,IE,IF,IB，证四边形CEID 为正方形，求出 ID=CE=2，证 BF=BE=4，OF=$\frac{AB}{2}$ - BF = 5 - 4 = 1，再在Rt△IFO中求 IO）

12.如图所示，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，点$I$是$\triangle ABC$的内心，延长$AI$交$\odot O$于点$D$，连接$BD$.请你探究并解答下列问题：
(1)线段$BD$，$ID$有怎样的数量关系？证明你的结论.
(2)若弦$AD$与$BC$相交于点$E$，则$ID$，$DE$与$AD$之间满足怎样的关系式？
请写出来并说明理由.

答案：
12.
(1)BD=ID.证明：连接 BI.如图，因为点 I 是△ABC 的内心，所以∠1=∠2，∠3=∠4.因为$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，所以∠2=∠5，所以∠1=∠5，所以∠1 + ∠3 = ∠4 + ∠5，即∠DIB=∠DBI，所以 BD=ID.

(2)ID²=DE·AD.理由如下：因为∠D=∠D，∠5=∠1，所以△DBE∽△DAB，所以$\frac{DB}{DA}=\frac{DE}{DB}$，所以 BD²=DE·AD.
又因为 ID=BD，所以 ID²=DE·AD.

例题1 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 12$，将矩形$ABCD$按图所示的方式在直线$l$上进行两次旋转，则点$B$在两次旋转过程中经过的路径的长是(A).


A.$\frac{25}{2}\pi$
B.$13\pi$
C.$25\pi$
D.$25\sqrt{2}$

答案： 例题1答案：A
点拨：此题主要考查了弧长计算及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式$l = \frac{n\pi r}{180}$.