《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

10.不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)$5x^{2}+x=7$；
(2)$25x^{2}+20x+4=0$；
(3)$(x+1)(4x+1)=2x$.

答案： 10.解：
(1)原方程化为一般式$ 5x^{2} + x - 7 = 0，$
因为$ \Delta = 1^{2} - 4 × 5 × (-7) = 141 ＞ 0，$
所以方程有两个不相等的实数根.
(2)因为$ \Delta = 20^{2} - 4 × 25 × 4 = 0，$
所以方程有两个相等的实数根.
(3)原方程化为一般式$ 4x^{2} + 3x + 1 = 0，$
因为$ \Delta = 3^{2} - 4 × 4 × 1 = -7 ＜ 0，$
所以方程没有实数根.

11.已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+m-1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$m$是正整数，求关于$x$的方程$x^{2}-2x+m-1=0$的根.

答案： 11.解：
(1)根据题意得$ (-2)^{2} - 4(m - 1) ＞ 0，$
解不等式得 m ＜ 2.
(2)由
(1)得 m ＜ 2.
因为 m 为正整数，所以 m = 1.
把 m = 1 代入原方程得$ x^{2} - 2x = 0，$
解得$ x_{1} = 0, x_{2} = 2.$

12.平行四边形$ABCD$的两边$AB$，$BC$的长是关于$x$的方程$x^{2}-(m+3)x+2m+2=0$的两个实数根.
(1)试说明：无论$m$取何值，方程总有两个实数根.
(2)当$m$为何值时，四边形$ABCD$是菱形？求出这时菱形的边长.
(3)若$AB$的长为$3$，那么平行四边形$ABCD$的周长是多少？

答案： 12.
(1)证明：因为方程$ x^{2} - (m + 3)x + 2m + 2 = 0，$
所以$ \Delta = (m + 3)^{2} - 4(2m + 2) = (m - 1)^{2} \geqslant 0，$
所以无论 m 取何值方程总有两个实数根.
(2)解：四边形 ABCD 是菱形，
所以 AB = BC，
所以$ \Delta = (m - 1)^{2} = 0，$
所以 m = 1，
所以方程为$ x^{2} - 4x + 4 = 0，$
所以$ x_{1} = x_{2} = 2，$
即菱形的边长为 2.
(3)解：将 AB = 3 代入方程$ x^{2} - (m + 3)x + 2m + 2 = 0，$
解得 m = 2，
所以方程为$ x^{2} - 5x + 6 = 0，$
解得$ x_{1} = 2, x_{2} = 3，$
即 BC = 2，
故平行四边形 ABCD 的周长为 10.