《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题1 如图，已知$AB // CD // EF$，$AF$交$BE$于点$H$，下列结论中错误的是().


A.$\frac{BH}{HC} = \frac{AH}{AD}$
B.$\frac{AD}{DF} = \frac{BC}{CE}$
C.$\frac{HC}{HE} = \frac{HD}{DF}$
D.$\frac{AF}{DF} = \frac{BE}{CE}$

答案： 分析：根据$AB // CD // EF$，结合平行线分线段成比例定理可得解.
因为$AB // CD // EF$，所以$\frac{BH}{HC} = \frac{AH}{AD}$，$\frac{AD}{DF} = \frac{BC}{CE}$，$\frac{AF}{DF} = \frac{BE}{CE}$，故选项$A$，$B$，$D$正确.
因为$CD // EF$，所以$\frac{HC}{HE} = \frac{HD}{HF}$，故选项$C$错误.
答案：C
点拨：平行线分线段成比例定理除基本图形外，主要还有“$A$”形和“$X$”形两种类型的图形.图中包含这两种图形，从每种图形中找出成比例线段即可判断出错误的选项.

例题2 如图，$D$为$\triangle ABC$内一点，连接$ED$，$AD$，以$BC$为边在$\triangle ABC$外作$\angle CBE = \angle ABD$，$\angle BCE = \angle BAD$.求证：$\triangle DBE \backsim \triangle ABC$.

答案： 在$\triangle CBE$和$\triangle ABD$中，
$\angle CBE = \angle ABD$，$\angle BCE = \angle BAD$，
所以$\triangle CBE \backsim \triangle ABD$，
所以$\frac{BC}{AB} = \frac{BE}{BD}$，
即$\frac{BC}{BE} = \frac{AB}{BD}$，
在$\triangle DBE$和$\triangle ABC$中，
$\angle CBE = \angle ABD$，
$\angle DBC$为公共角，
所以$\angle CBE + \angle DBC = \angle ABD + \angle DBC$，
即$\angle DBE = \angle ABC$，
且$\frac{BC}{BE} = \frac{AB}{BD}$，
所以$\triangle DBE \backsim \triangle ABC$。