《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题1 如图(1)，小颖同学在手工制作中，把一张边长为$12 cm$的等边三角形纸片贴到一张圆形的纸片上.若三角形的三个顶点恰好在这个圆上，求该圆的半径.

答案： 分析：要求上述圆的半径.已知等边三角形的边长，在等边三角形中构造一个直角三角形，利用勾股定理求出半径.
解：如图
(2)，连接$AO$并延长交$BC$于$D$，连接$OB$.
因为$AB=BC=12 cm$，由题意得$AD\perp BC$，所以$BD=\frac{1}{2}BC=6 cm$.
在$ Rt\triangle ABD$中，由勾股定理，得$AD=6\sqrt{3} cm$.
设该圆半径为$r cm$，则$OD=AD-OA=(6\sqrt{3}-r) cm$.
在$ Rt\triangle BOD$中，$OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$，即$(6\sqrt{3}-r)^{2}+6^{2}=r^{2}$，解得$r=4\sqrt{3}$.
点拨：求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长这条半径，将求半径转化为在直角三角形中求边的长.

例题2 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角.
已知：在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，求证：$\angle B$，$\angle C$都是锐角.

答案： 证明：假设$\angle B$，$\angle C$不都是锐角，则$\angle B$，$\angle C$为直角或钝角.
因为$AB=AC$，所以$\angle B=\angle C$，所以$\angle B+\angle C\geqslant90^{\circ}+90^{\circ}$，即$\angle B+\angle C\geqslant180^{\circ}$，
所以$\angle A+\angle B+\angle C＞180^{\circ}$.
这与三角形内角和是$180^{\circ}$相矛盾，这说明假设是不对的，所以等腰三角形的底角是锐角.
点拨：正确找出命题结论的反面是解答本题的关键.本题中“$\angle B$，$\angle C$都是锐角”的反面不应是“$\angle B$，$\angle C$都不是锐角”，而应为“$\angle B$，$\angle C$不都是锐角”.