《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题1 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$，$BC$上，连接$DE$，$EF$。已知四边形$BFED$是平行四边形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$。

(1)若$AB = 8$，求线段$AD$的长；
(2)若$\triangle ADE$的面积为$1$，求平行四边形$BFED$的面积。

答案： 分析：
(1)证明$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答。
(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得$\triangle ABC$的面积是$16$，同理可得$\triangle EFC$的面积$= 9$，根据面积差可得答案。
解：
(1)因为四边形$BFED$是平行四边形，所以$DE // BF$，所以$DE // BC$，所以$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$。因为$AB = 8$，所以$AD = 2$。
(2)因为$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{DE}{BC})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$。因为$\triangle ADE$的面积为$1$，所以$\triangle ABC$的面积是$16$。因为四边形$BFED$是平行四边形，所以$EF // AB$，所以$\triangle EFC \backsim \triangle ABC$，所以$\frac{S_{\triangle EFC}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，所以$S_{\triangle EFC} = 9$，所以$S_{ ▱BFED} = 16 - 9 - 1 = 6$。
点评：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键。

例题2 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高。如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物$OB$的影长$OC$为$16$米，$OA$的影长$OD$为$20$米，小明的影长$FG$为$2.4$米，其中$O$，$C$，$D$，$F$，$G$五点在同一直线上，$A$，$B$，$O$三点在同一直线上，且$AO \perp OD$，$EF \perp FG$。已知小明的身高$EF$为$1.8$米，求旗杆的高$AB$。

答案： 分析：先证明$\triangle AOD \backsim \triangle EFG$，列比例式可得$AO$的长，再证明$\triangle BOC \backsim \triangle AOD$，可得$OB$的长，最后由线段的差可得结论。
解：因为$AD // EG$，所以$\angle ADO = \angle EGF$，所以$\triangle AOD \backsim \triangle EFG$，所以$\frac{AO}{EF}=\frac{OD}{FG}$，即$\frac{AO}{1.8}=\frac{20}{2.4}$，所以$AO = 15$。
因为$AD // BC$，所以$\triangle BOC \backsim \triangle AOD$，所以$\frac{BO}{AO}=\frac{OC}{OD}$，即$\frac{BO}{15}=\frac{16}{20}$，所以$BO = 12$，所以$AB = AO - BO = 15 - 12 = 3$（米）。
点评：本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型。