《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

16. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$DE$，$BC$的延长线相交于点$F$，且$\frac{FE}{FB} = \frac{FC}{FD}$.
(1)求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ACB$；
(2)当$AB = 12$，$AC = 9$，$AE = 8$时，求$BD$的长.

答案： 16.
(1)证明：因为$\frac{FE}{FB}$ = $\frac{FC}{FD}$，且∠EFC = ∠BFD，所以△FEC∽△FBD，
所以∠FEC = ∠B.
又因为∠AED = ∠FEC，
所以∠AED = ∠B.
又因为∠EAD = ∠BAC，
所以△ADE∽△ACB.
(2)解：因为△ADE∽△ACB，
所以$\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{AD}{9}$ = $\frac{8}{12}$，
所以AD = 6，
所以DB = AB - AD = 12 - 6 = 6.

17.如图，点$B$，$D$，$E$在一条直线上，$BE$与$AC$相交于点$F$，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。
(1)求证：$\angle BAD=\angle CAE$；
(2)若$\angle BAD = 21^{\circ}$，求$\angle EBC$的度数；
(3)若连接$EC$，求证：$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$。

答案： 1. （1）证明：
因为$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，所以$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$（三边成比例的两个三角形相似）。
则$\angle BAC=\angle DAE$。
所以$\angle BAC - \angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
2. （2）
因为$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$，所以$\angle ABC=\angle ADE$。
又因为$\angle ADE + \angle ADB = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle EBC+\angle ADB = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$）。
所以$\angle EBC=\angle BAD$。
已知$\angle BAD = 21^{\circ}$，所以$\angle EBC = 21^{\circ}$。
3. （3）证明：
由（1）知$\angle BAD=\angle CAE$。
又因为$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$且$\angle BAD=\angle CAE$。
所以$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
综上，（1）得证；（2）$\angle EBC = 21^{\circ}$；（3）得证。

如图，在锐角三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上，$AG \perp BC$于点$G$，$AF \perp DE$于点$F$，$\angle EAF = \angle GAC$.
(1)求证：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$；
(2)若$AD = 3$，$AB = 5$，求$\frac{AF}{AG}$的值.

答案： 1.
(1)证明：因为AG⊥BC，AF⊥DE，
所以∠AFE = ∠AGC = 90°.
因为∠EAF = ∠GAC，
所以∠AED = ∠ACB.
因为∠EAD = ∠BAC，
所以△ADE∽△ABC.
(2)解：由
(1)可知△ADE∽△ABC，
所以$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{3}{5}$.
由
(1)可知∠AFE = ∠AGC = 90°，
又∠EAF = ∠GAC，
所以△EAF∽△CAG，
所以$\frac{AF}{AG}$ = $\frac{AE}{AC}$，
所以$\frac{AF}{AG}$ = $\frac{3}{5}$.