《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题1 在$ Rt \triangle ABC$中，$AC = 3 cm$，$BC = 4 cm$，$\angle ACB = 90°$.若以点$C$为圆心，$r$为半径的圆与直线$AB$不相离，求$r$的取值范围.

答案： 分析：$\odot C$与直线$AB$不相离，即$\odot C$与直线$AB$相交或相切，因此只需点$C$到直线$AB$的距离小于或等于$r$.
解：如图，过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$.
在$ Rt \triangle ABC$中，$AC = 3 cm$，$BC = 4 cm$，$\angle ACB = 90°$，
所以$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5( cm)$.
又因为$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB · CD = \frac{1}{2} AC · BC$，
所以$CD = 2.4 cm$，所以$r \geq 2.4 cm$.
点拨：
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数形结合思想的转化过程，它始终是“数”（圆心到直线的距离与圆的半径大小）与“形”（直线和圆的位置关系）之间的相互转化.
(2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等法求出.

例题2 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 45°$，以$AB$为直径的$\odot O$经过$AC$的中点$D$，$E$为$\odot O$上的一点，连接$DE$，$BE$，$DE$与$AB$交于点$F$.
(1)求证：$BC$为$\odot O$的切线；
(2)若$F$为$OA$的中点，$\odot O$的半径为$2$，求$BE$的长.

答案：
分析：
(1)连接$OD$，由三角形的中位线和切线的判定证明即可.
(2)连接$OD$，利用勾股定理求出$DF$的长，再通过证明$\triangle AFD \backsim \triangle EFB$，得到关于$BE$的比例式，可求出$BE$的长.
解：
(1)连接$OD$.因为$OA = OD$，$\angle A = 45°$，

所以$\angle ADO = \angle A = 45°$，所以$\angle AOD = 90°$.
因为$D$是$AC$的中点，所以$AD = CD$，所以$OD // BC$，
所以$\angle ABC = \angle AOD = 90°$，所以$BC$是$\odot O$的切线.
(2)连接$OD$.由
(1)可得$\angle AOD = 90°$.
因为$\odot O$的半径为$2$，$F$为$OA$的中点，
所以$OF = 1$，$BF = 3$，$AD = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
所以$DF = \sqrt{OF^2 + OD^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.因为$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BD}$，所以$\angle E = \angle A$.
因为$\angle AFD = \angle EFB$，所以$\triangle AFD \backsim \triangle EFB$，
所以$\frac{DF}{AD} = \frac{BF}{BE}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{BE}$，解得$BE = \frac{6\sqrt{10}}{5}$.