《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

14. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在$BC$边上，点$E$在$AC$边上，且$AD = AB$，$\angle DEC = \angle ADB$.
(1)求证：$\triangle AED \backsim \triangle ADC$；
(2)若$AE = 2$，$EC = 6$，求$AB$的长.

答案： 14.
(1)证明：因为∠DEC = ∠DAE + ∠ADE，∠ADB = ∠DAE + ∠C，∠DEC = ∠ADB，
所以∠ADE = ∠C.
又因为∠DAE = ∠CAD，
所以△AED∽△ADC.
(2)解：因为△AED∽△ADC，AE = 2，EC = 6，所以$\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AE}{AD}$，AC = AE + EC = 8，
即$\frac{AD}{8}$ = $\frac{2}{AD}$，
所以AD = 4或AD = - 4（舍去）.
又因为AD = AB，
所以AB = 4.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$P$，$D$分别是$BC$，$AC$边上的点，且$\angle APD = \angle B$.
(1)求证：$AC · CD = CP · BP$；
(2)若$AB = 10$，$BC = 12$，当$PD // AB$时，求$BP$的长.

答案：
15.解：
(1)因为AB = AC，所以∠B = ∠C.
因为∠APD = ∠B，所以∠APD = ∠B = ∠C.
因为∠APC = ∠BAP + ∠B，∠APC = ∠APD + ∠DPC，
所以∠BAP = ∠DPC，
所以△ABP∽△PCD，
所以$\frac{BP}{CD}$ = $\frac{AB}{CP}$，
所以AB·CD = CP·BP.
因为AB = AC，
所以AC·CD = CP·BP.
(2)如图，因为PD//AB，
所以∠APD = ∠BAP.

因为∠APD = ∠C，
所以∠BAP = ∠C.
因为∠B = ∠B，
所以△BAP∽△BCA，
所以$\frac{BA}{BC}$ = $\frac{BP}{BA}$.
因为AB = 10，BC = 12，
所以$\frac{10}{12}$ = $\frac{BP}{10}$，
所以BP = $\frac{25}{3}$.