《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

14.如图，一艘轮船在$A$处测得灯塔$P$在船的北偏东$30^{\circ}$的方向，轮船沿着北偏东$60^{\circ}$的方向航行$16 km$后到达$B$处，这时灯塔$P$在船的北偏西$75^{\circ}$的方向.求灯塔$P$与$B$之间的距离(结果保留根号).

答案：
14.解:过点P作PH⊥AB于点H.

由题意得∠PAB = 30°，∠PBA = 45°.
设PH = x，则AH = √3x，BH = x，PB = √2x.
因为AB = 16，
所以√3x + x = 16，
解得x = 8√3−8，
所以PB = √2x = (8√6−8√2)km.

15.如图，有一段斜坡$BC$长为$10$米，坡角$\angle CBD = 12^{\circ}$，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降低为$5^{\circ}$.
(1)求坡高$CD$；
(2)求斜坡新起点$A$到原起点$B$的距离(精确到$0.1$米).
(参考数据：$\sin12^{\circ} \approx 0.21$，$\cos12^{\circ} \approx 0.98$，$\tan5^{\circ} \approx 0.09$)

答案： 15.解:
(1)在Rt△BCD中，
CD = BCsin12° ≈ 10×0.21 = 2.1(米).
(2)在Rt△BCD中，
BD = BCcos12° ≈ 10×0.98 = 9.8(米)，
在Rt△ACD中，AD = CD/tan5° ≈ 2.1/0.09 ≈ 23.33(米)，
所以AB = AD−BD ≈ 23.33−9.8 = 13.53 ≈ 13.5(米).

16.如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶$A$点处看甲楼楼底$D$点处的俯角为$45^{\circ}$，走到乙楼$B$点处看甲楼楼顶$E$点处的俯角为$30^{\circ}$，已知$AB = 6 m$，$DE = 10 m$.求乙楼的高度$AC$的长.(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，精确到$0.1 m$)

答案： 16.解:如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，
所以EF = CD，CF = DE = 10m.
设AC = xm，
则CD = EF = xm，BF = (x−16)m.
在Rt△BEF中，∠EBF = 60°，tan∠EBF = EF/BF，
所以x/(x−16) = √3，
所以x = 24 + 8√3 ≈ 37.8.
答:乙楼的高度AC的长约为37.8m.