《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题1 下列方程：①$x^2+y-6=0$；②$x^2+\frac{1}{x}=2$；③$x^2-x-2=0$；④$x^2-2+5x^3-6x=0$；⑤$2x^2-3x=2(x^2-2)$.其中是一元二次方程的有(A).

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 分析：要判断一个方程是不是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一元二次方程的条件.①中有两个未知数；②不是整式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次项系数为零.
答案：A
点拨：判断一个方程是不是一元二次方程，有两个关键点：
(1)整理前是整式方程且只含一个未知数.
(2)整理后未知数的最高次数是2.对于本例⑤$2x^2-3x=2(x^2-2)$，易出现不整理就下结论，误认为其是一元二次方程的情况.

例题2 已知$x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx-10=0$的一个解，且$a≠-b$，则$\frac{a^2-b^2}{2a+2b}$的值为5.

答案： 分析：方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值，同时注意根据分式的基本性质化简分式.
解：因为$x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx-10=0$的一个解，
所以$a-b-10=0$，所以$a-b=10$.
因为$a≠-b$，所以$\frac{a^2-b^2}{2a+2b}=\frac{(a+b)(a-b)}{2(a+b)}=\frac{a-b}{2}=\frac{10}{2}=5$.
点拨：本题考查了一元二次方程的定义.先利用一元二次方程的定义得到$a-b$的值，然后把所求的分式进行化简.本题利用了整体代入思想.