《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

8. 如图，四边形 $ABCD \sim$ 四边形 $EFGH$，求 $\angle \alpha$，$\angle \beta$ 的大小和 $EH$ 的长度.

答案： 8.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，
所以∠α = ∠C = 83°，∠A = ∠E = 118°，
在四边形EFGH中，
∠β = 360° - 83° - 78° - 118° = 81°.
因为四边形ABCD∽四边形EFGH，
所以EH:AD = EF:AB，
所以x:21 = 24:18，
解得x = 28，
所以EH = 28 cm.

9. 一个矩形 $ABCD$ 的较短边长为 $2$.
(1) 如图(1)，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
(2) 如图(2)，已知矩形 $ABCD$ 的另一边长为 $4$，剪去一个矩形 $ABEF$ 后，余下的矩形 $EFDC$ 与原矩形相似，求余下矩形 $EFDC$ 的面积.

答案： 9.解：
(1)由已知得MN = AB = 2，$MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC.$
因为沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
所以矩形DMNC与矩形ABCD相似，
所以$\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{BC}，$
所以DM·BC = AB·MN，即$\frac{1}{2}BC^{2} = 4，$
所以$BC = 2\sqrt{2}，$即它的另一边长为$2\sqrt{2}.$
(2)因为矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
所以$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{BC}.$
因为AB = CD = 2，BC = 4，
所以$DF = \frac{AB·CD}{BC} = 1，$
所以矩形EFDC的面积 = CD·DF = 2×1 = 2.

拓展提升
在 $AB = 20 m$，$AD = 30 m$ 的矩形花坛 $ABCD$ 的四周修筑小路.
(1) 如果四周小路的宽均相等，如图(1)，那么小路四周所围成的矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似吗？请说明理由.
(2) 如果相对着的两条小路的宽均相等，如图(2)，试问：小路的宽 $x$ 与 $y$ 的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似？请说明理由.

答案： 解：
(1)矩形A'B'C'D和矩形ABCD不相似.理由
如下：如果两个矩形相似，设小路宽为a，则$\frac{30 + 2a}{20 + 2a}=\frac{30}{20}，$解得a = 0.
因为小路宽不可能为0，
所以矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.
(2)如图
(2)，当x与y的比值为$\frac{2}{3}$时，小路四周所
围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.
理由如下：若矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似，
则$\frac{30 + 2y}{20 + 2x}=\frac{30}{20}，$所以3x = 2y，即$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}.$