《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

例题2 学习四边形时，我们知道四边形是不稳定的.如图，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出$\angle\alpha$的值吗？

答案： 解：设原矩形边长分别为$a$，$b$，则面积为$ab$.由题意得，平行四边形的面积$S = \frac{1}{2}ab$.又因为$S = ah = ab\sin\alpha$，所以$ab\sin\alpha = \frac{1}{2}ab$，即$\sin\alpha = \frac{1}{2}$，所以$\alpha = 30^{\circ}$.
点拨：由平行四边形面积变为原矩形的一半，底边不变，知道其高是$\frac{1}{2}b$.根据锐角三角比的概念得到$\sin\alpha = \frac{1}{2}$，然后利用$30^{\circ}$的三角比得到答案.

1.$2\cos30^{\circ}$的值等于(C).

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

答案： 1.C

2.计算$\sin^{2}45^{\circ} + \cos30^{\circ} · \tan60^{\circ}$，其结果是(A).

A.$2$
B.$1$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{5}{4}$

答案： 2.A

3.已知$\alpha$为锐角，且$\sin(\alpha - 10^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\alpha$等于(D).

A.$30^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 3.D

4.$\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$均为锐角，且$(\tan B - \sqrt{3})(2\sin A - \sqrt{3}) = 0$，则$\triangle ABC$一定是(D).

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.有一个角是$60^{\circ}$的三角形

答案： 4.D

5.按如图所示的运算程序，能使输出$y$值为$\frac{1}{2}$的是(C).


A.$\alpha = 60^{\circ}$，$\beta = 45^{\circ}$
B.$\alpha = 30^{\circ}$，$\beta = 45^{\circ}$
C.$\alpha = 30^{\circ}$，$\beta = 30^{\circ}$
D.$\alpha = 45^{\circ}$，$\beta = 30^{\circ}$

答案： 5.C