《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

21. 如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB$，$CD$是$\odot O$的直径，$E$是$DB$延长线上一点，且$\angle DEC = \angle ABC$.
(1) 求证：$CE$是$\odot O$的切线；
(2) 若$DE = 4\sqrt{5}$，$AC = 2BC$，求线段$CE$的长.

答案： 21.
(1)证明:因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB=90°,
所以∠A+∠ABC=90°.
因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$（此处原答案“BC=BC”表意不明，推测为弧相等）,
所以∠A=∠D.
又因为∠DEC=∠ABC，
所以∠D+∠DEC=90°,
所以∠DCE=90°,
所以CD⊥CE.
因为OC是⊙O的半径，
所以CE是⊙O的切线.
(2)解:由
(1)知,CD⊥CE.
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
因为∠A=∠D,AC=2BC,
所以tanA=tanD，
即$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{CD}=\frac{1}{2}$,
所以CD=2CE.
在Rt△CDE中,$CD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$,$DE=4\sqrt{5}$
所以$(2CE)^{2}+CE^{2}=(4\sqrt{5})^{2}$,
解得CE=4,
即线段CE的长为4.

22. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，点$D$是$AB$边的中点，点$O$在$AC$边上，$\odot O$经过点$C$且与$AB$边相切于点$E$，$\angle FAC = \frac{1}{2} \angle BDC$.
(1) 求证：$AF$是$\odot O$的切线；
(2) 若$BC = 6$，$\sin B = \frac{4}{5}$，求$\odot O$的半径及$OD$的长.

答案：
22.
(1)证明:如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE.
因为∠ACB=90°,D是AB的中点，
所以$CD=AD=\frac{1}{2}AB$，
　　　　　　　　　　　　
所以∠CAD=∠ACD.
因为∠BDC=∠CAD +∠ACD=2∠CAD,
又因为∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BDC,
所以∠FAC=∠CAB,
即AC是∠FAB的平分线.
因为点O在AC上,⊙O与AB相切于点E，
所以OE⊥AB,且OE是⊙O的半径，
所以OH=OE,OH是⊙O的半径，
所以AF是⊙O的切线.
(2)解:如图，在△ABC中，
∠ACB=90°,BC=6,$\sin B=\frac{4}{5}$，
所以可设AC=4x,AB=5x，
所以$(5x)^{2}-(4x)^{2}=6^{2}$，
所以x=2，
则AC=8,AB=10.
设⊙O的半径为r,则OC=OE=r.
因为Rt△AOE∽Rt△ABC，
所以$\frac{OE}{AO}=\frac{BC}{AB}$，
即$\frac{r}{8 - r}=\frac{6}{10}$，
所以r=3，
所以AE=4.
又因为AD=5，
所以DE=1.
在Rt△ODE中,由勾股定理得$OD=\sqrt{10}$.