《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

7. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧$(\overset{\frown}{AB})$，则$\overset{\frown}{AB}$的展直长度为6π.

答案： 7. 6π

8. 如图，分别以正三角形的$3$个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为$6 cm$，则该莱洛三角形的周长为6π.

答案： 8. 6π

9. 如图，扇形纸片$AOB$的半径为$3$，沿$AB$折叠扇形纸片，点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$C$处，图中阴影部分的面积为3π - $\frac{9\sqrt{3}}{2}$.

答案： 9. 3π - $\frac{9\sqrt{3}}{2}$

10. 如图，在菱形$ABCD$中，点$E$是$BC$的中点，以$C$为圆心、$CE$为半径作弧，交$CD$于点$F$，连接$AE$，$AF$.若$AB = 6$，$\angle B = 60^{\circ}$，则阴影部分的面积为9$\sqrt{3}$ - 3π.

答案： 10. 9$\sqrt{3}$ - 3π

11. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$CD$是$\odot O$的弦，且$CD \perp AB$于点$E$.
(1)求证：$\angle BCO = \angle D$；
(2)若$CD = 2\sqrt{3}$，$AE = 1$，求劣弧$\overset{\frown}{BD}$的长.

答案：
11.
(1)证明：因为$OB = OC$，所以$\angle BCO = \angle B$。
因为$\angle B = \angle D$，所以$\angle BCO = \angle D$。
(2)解：连接$OD$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD \perp AB$，

所以$CE = DE = \frac{1}{2}CD = \sqrt{3}$。
因为$\angle B = \angle D$，$\angle BEC = \angle DEA$，所以$\triangle BCE \sim \triangle DAE$，
所以$AE:CE = DE:BE$，
所以$1:\sqrt{3} = \sqrt{3}:BE$，
解得$BE = 3$，所以$AB = AE + BE = 4$，
所以$\odot O$的半径为$2$。
因为$\tan\angle EOD = \frac{ED}{OE} = \sqrt{3}$，
所以$\angle EOD = 60^{\circ}$，
所以$\angle BOD = 120^{\circ}$，
所以$\overset{\frown}{BD}$的长$=\frac{120·\pi·2}{180}=\frac{4}{3}\pi$。

12. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，射线$AD$交$\odot O$于点$F$，点$C$为劣弧$\overset{\frown}{BF}$的中点，过点$C$作$CE \perp AD$，垂足为$E$，连接$AC$.
(1)求证：$CE$是$\odot O$的切线；(2)若$\angle BAC = 30^{\circ}$，$AB = 4$，求阴影部分的面积.

答案：
12. 解：
(1)连接$BF$，$OC$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$\angle AFB = 90^{\circ}$，即$BF \perp AD$。
因为$CE \perp AD$，
所以$BF // CE$。
因为点$C$为劣弧$\overset{\frown}{BF}$的中点，
所以$OC \perp BF$。
因为$BF // CE$，
所以$OC \perp CE$。
因为$OC$是$\odot O$的半径，
所以$CE$是$\odot O$的切线。
(2)连接$OF$，$CF$。
因为$OA = OC$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，

所以$\angle BOC = 60^{\circ}$。
因为点$C$为劣弧$\overset{\frown}{BF}$的中点，
所以$\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{BC}$，
所以$\angle FOC = \angle BOC = 60^{\circ}$。
因为$OF = OC$，
所以$\angle OCF = \angle COB$，
所以$CF // AB$，
所以$S_{\triangle ACF} = S_{\triangle COF}$，
所以阴影部分的面积$= S_{扇形COF}$。
因为$AB = 4$，
所以$FO = OC = OB = 2$，
所以$S_{扇形FOC}=\frac{60·\pi×2^{2}}{360}=\frac{2}{3}\pi$，
即阴影部分的面积为$\frac{2}{3}\pi$。