《2025年行知天下九年级数学上册青岛版》

【例题】如图，已知圆$O$的直径$AB$垂直于弦$CD$于点$E$，连接$CO$并延长交$AD$于点$F$，且$CF \perp AD$.
(1) 证明：$E$是$OB$的中点；
(2) 若$AB = 8$，求$CD$的长.

答案：
分析：
(1) 要证明$E$是$OB$的中点，只要求证$OE = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}OC$，即证明$\angle OCE = 30°$即可.
(2) 在直角$\triangle OCE$中，根据勾股定理就可以解得$CE$的长，进而求出$CD$的长.

解：
(1) 证明：连接$AC$，如图.
因为直径$AB$垂直于弦$CD$于点$E$，所以$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$，所以$AC = AD$.
因为过圆心$O$的线$CF \perp AD$，所以$AF = DF$，即$CF$是$AD$的中垂线，
所以$AC = CD$，所以$AC = AD = CD$，即$\triangle ACD$是等边三角形，所以$\angle FCD = 30°$.
在$ Rt \triangle COE$中，$OE = \frac{1}{2}OC$，所以$OE = \frac{1}{2}OB$，所以点$E$为$OB$的中点.
(2) 因为$AB = 8$，所以$OC = \frac{1}{2}AB = 4$. 又因为$BE = OE$，所以$OE = 2$，
所以$CE = \sqrt{OC^2 - OE^2} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}$，所以$CD = 2CE = 4\sqrt{3}$.
点拨：当直径（或过圆心的线段）与某条弦垂直时，常常联想到垂径定理及垂径定理的推论. 利用定理及其推论，我们可以证明线段相等、弧相等、两线段垂直等结论.