《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

1. 顶点在圆上,并且两边都与圆____,我们把这样的角叫做圆周角。

答案： 相交

2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____。

答案： 一半

3. 推论：____所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是____角,$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是____。

答案： 同弧或等弧　直　直径

4. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的____。如果四边形$ABCD是\odot O$的内接四边形,那么$\odot O就是四边形ABCD$的外接圆。圆内接四边形的对角____。

答案： 外接圆　互补

【例1】已知$\odot O$的直径为10,点$A$,$B$,$C在\odot O$上,$\angle CAB的平分线交\odot O于点D$。
(1)如图①,若$\angle CAB = 90^{\circ}$,$AB = 6$,求$AC$,$BD$,$CD$的长；
(2)如图②,若$\angle CAB = 60^{\circ}$,求$BD$的长。
思路点拨(1)题,由直径所对的圆周角为直角可得$AC$的长；又$AD平分\angle CAB$,且在同一个圆中,相等的圆周角所对的弧、弦相等,从而可求出$CD$,$BD$的长。
(2)题,连接$OB$,$OD$,由同弧所对的圆周角是圆心角的一半,可知$\angle BOD = 60^{\circ}$,即$\triangle BOD$为等边三角形,即可得$BD$的长。
听课笔记：______

答案： 解:
(1)
∵∠CAB=90°,
∴BC为⊙O的直径.
∴∠BDC=90°.在Rt△CAB中,BC=10,AB=6,
∴AC=√(BC² - AB²)=√(10² - 6²)=8.由∠CAD=∠BAD,易得CD=BD.在Rt△BCD中,BC=10,CD² + BD² = BC²,
∴BD² = CD² = 50.
∴BD = CD = 5√2.
(2)连接OB,OD.
∵AD平分∠CAB,且∠CAB=60°,
∴∠DAB=30°.
∴∠BOD=2∠DAB=60°.又OB=OD,
∴△OBD是等边三角形.
∵⊙O的直径为10,
∴OB=5.
∴BD=5.

1. 如图,在$\odot O$中,$CD$是直径,点$A$,$B在\odot O$上,连接$OA$,$OB$,$AC$,$AB$。若$\angle AOB = 40^{\circ}$,$CD // AB$,则$\angle BAC$的大小为( )


A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： B
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=(180° - ∠AOB)/2=(180° - 40°)/2=70°.又CD//AB,
∴∠COB=∠OBA=70°.
∴∠BAC=(1/2)∠COB=35°.

【例2】已知直线$l与\odot O相交于点E$,$F$,$AB是\odot O$的直径,$AD \perp l$,垂足为$D$。若$\angle DAE = 18^{\circ}$,求$\angle BAF$的大小。

思路点拨连接$BF$。由圆内接四边形的对角互补,可求出$\angle ABF$。又由直径所对的圆周角为直角,可求得$\angle BAF$。
听课笔记：______

答案： 解:连接BF,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°.
∴∠BAF=90° - ∠B.∠AEF=∠ADE + ∠DAE=90° + 18°=108°.在⊙O中,四边形ABFE是圆的内接四边形,
∴∠AEF + ∠B=180°.
∴∠B=180° - 108°=72°.
∴∠BAF=90° - ∠B=90° - 72°=18°.