《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

2. 下列各组线段的长度成比例的是( )

A.$1$ cm,$3$ cm,$5$ cm,$7$ cm
B.$2$ cm,$3$ cm,$4$ cm,$5$ cm
C.$0.3$ m,$0.6$ m,$0.5$ m,$0.9$ m
D.$30$ cm,$20$ cm,$90$ cm,$60$ cm

答案： D

【例3】如图,把矩形$ABCD$对折,折痕为$MN$,矩形$DMNC与矩形ABCD$相似,已知$AB = 4$.

(1) 求$AD$的长；
(2) 求矩形$DMNC与矩形ABCD$的相似比.
思路点拨 两个矩形相似时,是长和长对应,宽和宽对应吗？长和长之比等于宽和宽之比就能说明两个矩形相似吗？
听课笔记：______

答案：
(1)
由题意得$MN$是$AD$（或$BC$）的垂直平分线，
所以$MN// AB$，
则$DM = \frac{1}{2}AD$，$CN = \frac{1}{2}BC$，$MN = AB = 4$。
因为矩形$DMNC\sim$矩形$ABCD$，
所以$\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{AD}$。
设$AD = x$，则$DM=\frac{1}{2}x$，
已知$AB = 4$，$MN = 4$，
代入$\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{AD}$可得：
$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{4}{x}$，
$\frac{1}{2}x^{2}=16$，
$x^{2}=32$，
解得$x = 4\sqrt{2}$或$x=-4\sqrt{2}$（舍去），
即$AD$的长为$4\sqrt{2}$。
(2)
由
(1)知矩形$DMNC\sim$矩形$ABCD$，相似比为$\frac{DM}{AB}$，
因为$DM=\frac{1}{2}AD = 2\sqrt{2}$，$AB = 4$，
所以相似比为$\frac{DM}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，答案为：
(1)$AD$的长为$4\sqrt{2}$；
(2)相似比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 一个四边形的各边之比为$1:2:3:4$,和它相似的另一个四边形的最小边长为$5$ cm,则它的最大边长为( )

A.$10$ cm
B.$15$ cm
C.$20$ cm
D.$25$ cm

答案： C 设它的最大边长为x cm,
∵两个四边形相似,
∴$\frac{1}{5}=\frac{4}{x}$,解得x=20.

1. 下列各组中的四条线段成比例的是( )

A.$1$ cm,$2$ cm,$3$ cm,$4$ cm
B.$2$ cm,$4$ cm,$6$ cm,$8$ cm
C.$5$ cm,$30$ cm,$10$ cm,$15$ cm
D.$5$ cm,$20$ cm,$10$ cm,$15$ cm

答案： C
∵2×3≠1×4,
∴选项A错误;
∵2×8≠4×6,
∴选项B错误;
∵5×30=10×15,
∴选项C正确;
∵20×5≠10×15,
∴选项D错误.

2. 已知五边形$ABCDE与五边形A_1B_1C_1D_1E_1$相似,五边形$ABCDE的最短边为2$,最长边为$6$,五边形$A_1B_1C_1D_1E_1的最长边是12$,则五边形$A_1B_1C_1D_1E_1$的最短边是( )

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

答案： A
∵五边形ABCDE与五边形$A_1B_1C_1D_1E_1$相似,五边形ABCDE的最短边为2,最长边为6,五边形$A_1B_1C_1D_1E_1$的最长边是12,
∴$\frac{2}{五边形A_1B_1C_1D_1E_1的最短边}=\frac{6}{12}$,
∴五边形$A_1B_1C_1D_1E_1$的最短边是4.

3. 下列说法正确的个数是( )
①对应边成比例的多边形都相似.
②有一组邻边相等的两个平行四边形相似.
③有一个角相等的两个菱形相似.
④正六边形都相似.

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： B ①
∵若两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,则这两个多边形相似,
∴原说法错误;②两邻边之比相等的两个平行四边形相似,说法错误,应为两邻边之比相等,对应角相等的两个平行四边形相似;③有一个角相等的两个菱形相似,说法正确;④所有的正六边形都相似,正确.

4. 若两个相似多边形的相似比为$1:2$,且它们最长边的和为$90$,则这两个相似多边形的最长边分别是______.

答案： 30,60 因为两个相似多边形的相似比为1:2,
所以可设较小的多边形的最长边为x,较大的多边形的最长边为2x,由题意得x+2x=90,解得x=30,则2x=60.