《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审：读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的_____关系；
(2)设：设元,也就是设______,主要有直接设元法与间接设元法,因题而异；
(3)列：列______,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,即得方程；
(4)解：解方程,求出______；
(5)验：检验方程的解能否保证______有意义；
(6)答：______.

答案： （1）等量 （2）未知数 （3）方程 （4）未知数 （5）实际问题 （6）作答

2.求解面积问题的常用方法.
(1)规则图形：用______列方程；
(2)不规则图形：采用______法,使其成为规则图形,根据面积间的和、差关系求解.

答案： （1）面积公式 （2）割补

3.利用问题中的数量关系列方程.
(1)利润＝售价一_____；
(2)利润率＝利润÷_____；
(3)总利润＝每件利润×_____＝总收入一_____.
核心·重难探究

答案： （1）进价 （2）进价 （3）销量 总成本

知识点一 列一元二次方程解决几何图形问题
【例1】如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2:3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度？

思路点拨(1)由横、竖彩条的宽度比为2:3,可设每个横彩条的宽度为2xcm,则每个竖彩条的宽度为3xcm.
(2)为了更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图所示的情况,得到矩形ABCD,再用含x的代数式表示：AB＝(20－6x)cm,AD＝(30－4x)cm,矩形ABCD的面积为(20－6x)(30－4x)$cm^2$.

由此可列出方程解决问题.
听课笔记：

答案： 设每个横彩条的宽度为$2x\ cm$，则每个竖彩条的宽度为$3x\ cm$。
原矩形面积：$30×20 = 600\ cm^2$，彩条面积为原面积的$\frac{1}{3}$，则空白部分面积为：$600 - 600×\frac{1}{3}=400\ cm^2$。
两横彩条总宽度为$2×2x = 4x\ cm$，两竖彩条总宽度为$2×3x = 6x\ cm$。空白部分形成矩形，其长为$(30 - 4x)\ cm$，宽为$(20 - 6x)\ cm$，面积为$(30 - 4x)(20 - 6x)\ cm^2$。
依题意列方程：$(30 - 4x)(20 - 6x)=400$
展开得：$600 - 180x - 80x + 24x^2=400$
化简：$24x^2 - 260x + 200=0$，两边同除以4：$6x^2 - 65x + 50=0$
解方程：$x=\frac{65\pm\sqrt{(-65)^2 - 4×6×50}}{2×6}=\frac{65\pm55}{12}$
解得：$x_1=10$（舍去，$4x=40＞30$），$x_2=\frac{5}{6}$
横彩条宽度：$2x=2×\frac{5}{6}=\frac{5}{3}\ cm$，竖彩条宽度：$3x=3×\frac{5}{6}=\frac{5}{2}\ cm$
答：横彩条宽度为$\frac{5}{3}\ cm$，竖彩条宽度为$\frac{5}{2}\ cm$。