《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

1. 一般地,形如____($k$为常数,$k\neq0$)的函数,叫做反比例函数.其中$x$是自变量,$y$是函数,自变量$x的取值范围是不等于0$的一切实数.

答案： $y=\frac{k}{x}$

2. 求反比例函数的解析式与求正比例函数的解析式类似,可以利用待定系数法.若题目中已知$y是x$的反比例函数(或$y与x$成反比例关系),则可设$y= \frac{k}{x}(k\neq0)$.由于在反比例函数$y= \frac{k}{x}(k\neq0)$中,只有一个待定系数$k$,因此只需要一对____的对应值.

答案： x,y

【例1】下列关于$x$的函数：①$y= \frac{2}{x}$,②$y= -\frac{4}{3x}$,③$y= \frac{k}{x}$,④$y= \frac{m^{2}+2}{x}$,其中一定是反比例函数的有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
听课笔记：______

答案： C 根据反比例函数的概念,形如$y=\frac{k}{x}$(k为常数,$k≠0$)的函数称为反比例函数.①$y=\frac{2}{x}$,②$y=-\frac{4}{3x}$,④$y=\frac{m^{2}+2}{x}$都符合概念的要求,而③函数$y=\frac{k}{x}$中的k没有指明不为零,不一定是反比例函数,故选C.

1. 在函数：①$y= \frac{x}{2}$,②$y= \frac{-2}{x}$,③$y= -\frac{1}{2x}$,④$y= 2x^{-1}$中是反比例函数的有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C ①$y=\frac{x}{2}$是正比例函数;②$y=\frac{-2}{x}$是反比例函数;③$y=-\frac{1}{2x}$是反比例函数;④$y=2x^{-1}$是反比例函数.

【例2】已知函数$y= y_{1}-y_{2}$,$y_{1}与x$成反比例,$y_{2}与x - 2$成正比例,且当$x = 1$时,$y= -1$；当$x = 3$时,$y = 5$.求当$x = 5时y$的值.
思路点拨 先根据题意,分别表示出$y_{1}与x$,$y_{2}与x$的函数解析式,再进一步表示出$y与x$的函数解析式,最后根据已知条件,得到方程组,即可求解.
听课笔记：______

答案： 解:
∵$y_{1}$与x成反比例,$y_{2}$与$x-2$成正比例,
∴设$y_{1}=\frac{m}{x}(m≠0)$,$y_{2}=k(x-2)(k≠0)$.
∵$y=y_{1}-y_{2}$,
∴$y=\frac{m}{x}-k(x-2)$.
∵当$x=1$时,$y=-1$;当$x=3$时,$y=5$,
∴$\left\{\begin{array}{l} m+k=-1,\\ \frac{m}{3}-k=5.\end{array}\right. $
∴$\left\{\begin{array}{l} m=3,\\ k=-4.\end{array}\right. $
∴$y=\frac{3}{x}+4x-8$.
故$x=5$时,$y=\frac{63}{5}$.