《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AE\perp BD$,垂足为 $E$. 则图中相似的三角形共有( )


A.$7$ 对
B.$6$ 对
C.$5$ 对
D.$4$ 对

答案： B

7. 如图,点 $D$,$E$ 分别在 $\triangle ABC$ 的 $AB$,$AC$ 边上,且 $DE$ 与 $BC$ 不平行,要使 $\triangle ABC$ 与 $\triangle AED$ 相似,则需要添加一个条件为______.

答案： ∠ABC=∠AED(答案不唯一)

8. 如图,$E$ 为平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上一点,连接 $AE$,交边 $CD$ 于点 $F$. 在不添加辅助线的情况下,有____对相似三角形.

答案： 4

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 80^{\circ}$,$\angle BAC = 40^{\circ}$,$AB$ 的垂直平分线分别与 $AC$,$AB$ 交于点 $D$,$E$,连接 $BD$.

求证：$\triangle ABC\backsim\triangle BDC$.

答案： 证明:
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD.
∵∠BAC=40°,
∴∠ABD=40°.
∵∠ABC=80°,
∴∠DBC=40°.
∴∠DBC=∠BAC.
∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC.

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,以 $AB$ 的中点 $O$ 为圆心,$OA$ 为半径的圆交 $AC$ 于点 $D$,$E$ 是 $BC$ 的中点,连接 $DE$,$OE$.

(1) 判断 $DE$ 与 $\odot O$ 的位置关系,并说明理由.
(2) 求证：$BC^{2} = 2CD\cdot OE$.

答案：
(1)解:DE为⊙O的切线,理由如下:连接OD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴$CE=DE=BE=\frac{1}{2}BC$,
∴∠C=∠CDE.
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO.
∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD.
又OD为⊙O的半径,
∴DE为⊙O的切线.
(2)证明:
∵E是BC的中点,O是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE.
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC=90°,
∴△ABC∽△BDC,
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{BC}$,即$BC^2=AC\cdot CD$.
∴$BC^2=2CD\cdot OE$.

1. 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于______.相似三角形对应线段的比等于______.

答案： 相似比　相似比

2. 相似三角形周长的比等于______.相似三角形面积的比等于______.

答案： 相似比　相似比的平方

3. 已知两个三角形相似,根据下列数据填表：
|相似比|2| | |$\dfrac{1}{3}$| | |

|周长比| |0.01|10| | | |
|面积比| | | | |10 000|0.01|

答案： 2　4　0.01　0.0001　10　100　$\frac{1}{3}$　$\frac{1}{9}$　100 100　0.1　0.1