《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

【例 1】已知函数 $ y = (m + 1)x^{m^2 + m - 10} $ 是二次函数。
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 当 $ m $ 为何值时,抛物线有最低点？其最低点的坐标是什么？此时,当 $ x $ 在哪个范围内变化时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3) 若当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,求 $ m $ 的值。
思路点拨 (1) 若函数 $ y = (m + 1)x^{m^2 + m - 10} $ 是二次函数,则 $ m^2 + m - 10 = 2 $,$ m + 1 \neq 0 $。
(2) 若抛物线有最低点,则 $ m + 1 ＞ 0 $。
(3) 若当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ m + 1 ＜ 0 $。
听课笔记：______

答案： 解:
(1)由题意得$ \begin{cases} m^{2}+m-10=2, \\ m+1\neq 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} m=3 或 m=-4, \\ m\neq -1, \end{cases} $$ \therefore m=3 $或$ m=-4 $.
(2)$ \because $抛物线有最低点,$ \therefore $抛物线开口向上,$ \therefore m+1＞0 $,即$ m＞-1 $,$ \therefore m=3 $,$ \therefore y=4x^{2} $.此时抛物线的最低点坐标为$ (0,0) $.当$ x＞0 $时,y随x的增大而增大.
(3)$ \because $当$ x＞0 $时,y随x的增大而减小,$ \therefore m+1＜0 $,$ \therefore m＜-1 $.$ \therefore m=-4 $.

1. 已知点 $ (-1, y_1) $,$ (2, y_2) $,$ (-3, y_3) $ 都在函数 $ y = x^2 $ 的图象上,则( )

A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $
C.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $
D.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $

答案： A

【例 2】如图,一抛物线形的石拱桥在如图所示的坐标系中,桥的最大高度为 $ 16 \, m $,跨度为 $ 40 \, m $。

(1) 求此抛物线的函数解析式；
(2) 求距 $ y $ 轴 $ 5 \, m $ 处的石拱桥的高度。
思路点拨 (1) 在一次函数中,我们用待定系数法求解函数解析式,若用这种方法,则根据本题中抛物线的位置特征,可以设该二次函数的解析式为 $ y = ax^2 $,要求 $ a $ 的值,须知抛物线上除原点外的一个点的坐标。
(2) 距 $ y $ 轴 $ 5 \, m $ 时,相应的横坐标为 $ 5 $。
听课笔记：______

答案：
(1)$y = -\frac{1}{25}x^2 + 16$；
(2)15m。

2. 已知二次函数 $ y = ax^2 $ 与 $ y = -3x^2 $ 的图象开口大小、形状都相同,开口方向相反,则 $ a = $______。

答案： 3