《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

8. 在矩形纸片ABCD中,AB= 5,AD= 4.如图,四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形,你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形,最大面积是多少? 说明理由.

答案： 解:正方形的最大面积是16.设AM=x(0≤x≤4),则MD=4-x.
∵四边形MNEF是正方形,
∴MN=MF,∠AMN+∠FMD=90°.
∵∠AMN+∠ANM=90°,
∴∠ANM=∠FMD.
∴Rt△ANM≌Rt△DMF.
∴DM=AN.
∴S正方形MNEF=MN²=AM²+AN²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8.抛物线S正方形MNEF=2(x-2)²+8的开口向上,对称轴是x=2,
∵0≤x≤4,
∴当x=0或x=4时,正方形MNEF的面积最大,最大值是16.

1. 建立坐标系解决实际问题的一般步骤：
第一步：根据题意建立适当的______；
第二步：根据条件求出函数的______；
第三步：确定自变量的______；
第四步：解决______。

答案： 平面直角坐标系 解析式 取值范围 实际问题

2. 根据建立的坐标系选择合适的二次函数解析式：
(1)顶点为原点,对称轴为$y$轴的二次函数可设其解析式为______；
(2)对称轴为$y$轴的二次函数可设其解析式为______；
(3)顶点在$x$轴,对称轴平行于$y$轴的二次函数,可设其解析式为______；
(4)抛物线过原点,对称轴平行于$y$轴的二次函数可设其解析式为______。

答案：
(1)$y=ax^{2}$
(2)$y=ax^{2}+k$
(3)$y=a(x - h)^{2}$
(4)$y=ax^{2}+bx$