《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

7. 请用三种不同的方法解方程 $ (2x + 3)^2 = (x - 2)^2 $.

答案： 解:(方法一)$\because (2x+3)^{2}=(x-2)^{2}$,
$\therefore 2x+3=\pm (x-2)$.
$\therefore 2x+3=x-2$ 或 $2x+3=-x+2$.
$\therefore x_{1}=-5,x_{2}=-\frac{1}{3}$.
(方法二)$\because (2x+3)^{2}=(x-2)^{2}$,
$\therefore (2x+3)^{2}-(x-2)^{2}=0$,
$\therefore (2x+3+x-2)(2x+3-x+2)=0$.
$\therefore 3x+1=0$ 或 $x+5=0$.
$\therefore x_{1}=-\frac{1}{3},x_{2}=-5$.
(方法三)$\because (2x+3)^{2}=(x-2)^{2}$,
$\therefore 4x^{2}+12x+9=x^{2}-4x+4$.
$\therefore 3x^{2}+16x+5=0$.
$\therefore a=3,b=16,c=5$.
$\therefore b^{2}-4ac=16^{2}-4× 3× 5=196$.
$\therefore x=\frac{-16\pm \sqrt{196}}{2× 3}=\frac{-16\pm 14}{6}$.
$\therefore x_{1}=\frac{-16+14}{6}=-\frac{1}{3},x_{2}=\frac{-16-14}{6}=-5$.

8. 已知 $ a^4 + b^4 + 2a^2b^2 - 2a^2 - 2b^2 - 15 = 0 $,求代数式 $ a^2 + b^2 $ 的值.

答案： 解:由已知可得 $(a^{2}+b^{2})^{2}-2(a^{2}+b^{2})-15=0$.
设 $a^{2}+b^{2}=x$,则 $x^{2}-2x-15=0$,解得 $x_{1}=5,x_{2}=-3$.
$\because a^{2}+b^{2}\geq 0$,
$\therefore x_{2}=-3$ 不符合题意,应舍去.
$\therefore x=5$,即 $a^{2}+b^{2}=5$.

1. 一元二次方程的根与系数的关系. 若一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两个根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}= $ ______,$x_{1}x_{2}= $ ______. 语言叙述为一元二次方程的两个根的和等于 ______ 系数与 ______ 系数的 ______,两个根的积等于 ______ 与 ______ 系数的 ______.

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ 一次项 二次项 比的相反数 常数项 二次项 比

2. 利用根与系数的关系进行计算与求值时,可以省略求解方程的过程,尤其是在方程求根比较烦琐时可以起到化繁为简、化难为易的作用. 能合理地把所给代数式变形为含有两根和与积的形式是解决此类问题的关键. 将下列与一元二次方程的两个根有关的代数式变形：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-$ ______；
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= $ ______；
$(x_{1}+a)(x_{2}+a)= $ ______ $+a(x_{1}+x_{2})+a^{2}$；
$(x_{1}-x_{2})^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-$ ______；
$|x_{1}-x_{2}|= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}= \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}}$ ______.

答案：
(1)$2x_{1}x_{2}$；
(2)$\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$；
(3)$x_{1}x_{2}$；
(4)$4x_{1}x_{2}$；
(5)$-4x_{1}x_{2}$

【例 1】已知方程 $2x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个根是 $x_{1},x_{2}$,不解方程,求下列各式的值：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$.
思路点拨
(1)题由 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $2x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个根,得 $x_{1}+x_{2}= -\frac{3}{2},x_{1}x_{2}= -\frac{1}{2}$.
(2)题把 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 变形时,应用的是完全平方公式；把 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 进行通分,得 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$.
听课笔记：______

答案： 解：由根与系数的关系，可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$.
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}$
$=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
$=(-\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})=\frac{13}{4}$.
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=3$.