《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

5. 抛物线 $ y = a(x + m)^2 $ 与直线 $ y = ax + m $ 的图象可能是( )

A.
B.
C.
D.

答案： D

6. 已知函数 $ y = -(x - 1)^2 $ 的图象上两点 $ A(2, y_1) $,$ B(a, y_2) $,其中 $ a ＞ 2 $,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是( )

A.$ y_1 = y_2 $
B.$ y_1 ＞ y_2 $
C.$ y_1 ＜ y_2 $
D.不确定

答案： B

7. 若抛物线 $ y = ax^2 + c $ 向上平移 2 个单位长度后与抛物线 $ y = x^2 $ 重合,则 $ a + c = $______.

答案： -1

8. 若二次函数 $ y = ax^{m^2 - 4m - 3} + (m - 5) $ 图象顶点在 $ x $ 轴下方,则 $ m $ 的值为______.

答案： -1

9. 若抛物线 $ y = m(x + n)^2 $ 向左平移 2 个单位长度后,得到的抛物线是 $ y = -4(x - 4)^2 $,则 $ m = $______,$ n = $______.

答案： -4 -6

10. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象如图所示,已知 $ a = \frac{1}{2} $,$ OA = OC $,试求该抛物线对应的函数解析式.

答案： 解:
∵$a=\frac{1}{2}$,
∴$y=\frac{1}{2}(x-h)^{2}$.又$y=a(x-h)^{2}$的顶点C(h,0),OA=OC,
∴A(0,h).把A(0,h)代入$y=\frac{1}{2}(x-h)^{2}$得到$\frac{1}{2}h^{2}=h$,即h=0或h=2.通过题中图象又知h＞0,故h=2.
∴所求的抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^{2}$,即$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x+2$.

11. 已知抛物线 $ y = x^2 - k $ 的顶点为 $ P $,与 $ x $ 轴交于点 $ A $,$ B $,且 $ \triangle ABP $ 是正三角形,求 $ k $ 的值.

答案： 解:由题意,得P(0,-k),PO=k,OA=OB,∠OPB=30°.由勾股定理,解得$OB=\frac{\sqrt{3}}{3}k$.可设$B(\frac{\sqrt{3}}{3}k,0)$,将其代入$y=x^{2}-k$,得$(\frac{\sqrt{3}}{3}k)^{2}-k=0$.解得$k_{1}=0$(不合题意,舍去),$k_{2}=3$.
∴k=3.

1. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象和性质.
(1)一般地,抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 形状______,位置______,把抛物线 $ y = ax^2 $ 向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $. 平移的方向、距离要根据______,______的值来决定.
(2)抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 有如下特点：
①当 $ a ＞ 0 $ 时,开口向______；当 $ a ＜ 0 $ 时,开口向______；
②对称轴是______；
③顶点是______.
(3)在二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 中,如果 $ a ＞ 0 $,当 $ x ＜ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______,当 $ x ＞ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______；如果 $ a ＜ 0 $,当 $ x ＜ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______,当 $ x ＞ h $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______.

答案：
(1)相同　不同　h　k　
(2)①上　下　②x=h ③(h,k)　
(3)减小　增大　增大　减小

2. 将抛物线 $ y = 3x^2 - 3 $ 向右平移 3 个单位长度,得到的抛物线的解析式为______.

答案： y=3(x−3)²−3