《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

1. 若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-2x - 3 = 0$ 的两个根,则 $x_{1}x_{2}$ 的值是 ______.

答案： -3

【例 2】若 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0$ 的两个根,且 $x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,则 $m$ 的值为( )
A. $-1$ 或 $2$
B. $1$ 或 $-2$
C. $-2$
D. $1$
思路点拨
(1)根据根与系数的关系结合 $x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,即可得出关于 $m$ 的一元二次方程,解之即可得出 $m$ 的值.
(2)根据方程有实数根,结合根的判别式,即可得出关于 $m$ 的一元一次不等式,解之即可得出 $m$ 的取值范围,从而可确定 $m$ 的值.
听课笔记：______

答案： D
∵$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2mx+m^{2}-m-1=0$的两个根，
∴$x_{1}+x_{2}=2m$，$x_{1}\cdot x_{2}=m^{2}-m-1$.
∵$x_{1}+x_{2}=1-x_{1}x_{2}$，
∴$2m=1-(m^{2}-m-1)$，
即$m^{2}+m-2=0$，
解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=1$.
∵方程$x^{2}-2mx+m^{2}-m-1=0$有实数根，
∴$\Delta=(-2m)^{2}-4(m^{2}-m-1)=4m+4\geq0$，
解得$m\geq-1$.
∴$m=1$.

2. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两根为 $-3$ 和 $-1$,则 $p= $ ______,$q= $ ______.

答案： 4 3

1. 一元二次方程 $3x^{2}-1 = 2x + 5$ 的两实数根的和与积分别是( )

A.$\frac{3}{2},-2$
B.$\frac{2}{3},-2$
C.$-\frac{2}{3},2$
D.$-\frac{3}{2},2$

答案： B

2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+kx - 3 = 0$ 的一个根是 $x = 1$,则另一个根是( )

A.$3$
B.$-1$
C.$-3$
D.$-2$

答案： C

3. 若 $\alpha,\beta$ 是方程 $x^{2}-2x - 3 = 0$ 的两个实数根,则 $\alpha^{2}+\beta^{2}$ 的值为( )

A.$10$
B.$9$
C.$7$
D.$5$

答案： A

4. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $2x^{2}+3x - 4 = 0$ 的两个实数根,则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为 ______.

答案： $\frac{3}{4}$