《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

2. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象和性质.
(1) 形状：抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = ax^2 $ 的形状完全______,将抛物线 $ y = ax^2 $ 向______($ h ＞ 0 $ 向______,$ h ＜ 0 $ 向______)平移,便可得抛物线 $ y = a(x - h)^2 $.
(2) 顶点及对称轴：顶点坐标为______；对称轴是直线______.
(3) 开口方向及增减性：
① 当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向______,在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______,在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______；
② 当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向______,在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______,在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______.

答案：
(1)相同 左或右 右 左
(2)(h,0) x=h
(3)①上 减小 增大 ②下 增大 减小

【例1】一条抛物线的开口大小、方向和对称轴均与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 相同,并且此抛物线经过点 $ (1, 1) $.
(1) 求该抛物线的函数解析式,并指明其顶点坐标；
(2) 所求抛物线与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 有什么关系？

答案：
(1)根据题意,可设所求抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+k$,把点(1,1)代入上式,得$\frac{1}{2} × 1^{2}+k=1$,解得$k=\frac{1}{2}$.所以抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}$,其顶点坐标为$(0,\frac{1}{2})$.
(2)抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$向上平移$\frac{1}{2}$个单位长度可得所求抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}$.

1. 把抛物线 $ y = 3x^2 $ 向上平移 1 个单位长度后,所得的抛物线为( )

A.$ y = 3x^2 - 1 $
B.$ y = 3(x - 1)^2 $
C.$ y = 3x^2 + 1 $
D.$ y = 3(x + 1)^2 $

答案： C

【例2】将抛物线 $ y = ax^2 $ 向左平移后所得抛物线的顶点横坐标为 $ -2 $,且经过点 $ (1, 3) $.
(1) 求所得抛物线的函数解析式；
(2) 在所得抛物线中,当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案：
(1)因为所得抛物线的顶点横坐标为-2,可设其解析式为$y=a(x+2)^{2}$,把(1,3)代入,得$a(1+2)^{2}=3$,解得$a=\frac{1}{3}$.所以所得抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{3}(x+2)^{2}$.
(2)因为$a=\frac{1}{3}＞0$,所以抛物线的开口向上,在对称轴x=-2左侧,y随x的增大而减小,即当x＜-2时,y随x的增大而减小.