《2025年同步学习目标与检测九年级数学全一册人教版》

1. 已知$\triangle ABC\backsim\triangle MNP$,若$\triangle ABC与\triangle MNP$的相似比为 2:3,则$\triangle ABC与\triangle MNP$对应角平分线之比为( )

A.2:3
B.4:9
C.3:2
D.9:4

答案： A

2. 已知$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$,且面积之比为 1:9,则$\triangle ABC和\triangle A'B'C'的对应边AB和A'B'$的比为( )

A.3:1
B.1:3
C.1:9
D.1:27

答案： B

3. $\triangle ABC$三边的长分别为 3,5,7,与它相似的$\triangle A'B'C'$的最长边长是 21,则$\triangle A'B'C'$的最短边长是( )

A.6
B.9
C.10
D.15

答案： B

4. 已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,且相似比为 2:1,$\triangle ABC$的面积为 8,则$\triangle DEF$的面积为( )

A.2
B.4
C.8
D.16

答案： A
∵△ABC∽△DEF,相似比为2:1,
∴△ABC与△DEF的面积比为4:1.
∵△ABC的面积为8,
∴△DEF的面积为2.

5. 若两个相似三角形的对应边分别是 15 cm 和 23 cm,且它们的周长相差 40 cm,则这两个三角形的周长分别是( )

A.75 cm,115 cm
B.60 cm,100 cm
C.85 cm,125 cm
D.45 cm,85 cm

答案： A　根据题意可知两个三角形的相似比是15:23，则周长比是15:23.因为它们的周长相差40cm，所以两个三角形的周长分别为5×15=75(cm)，5×23=115(cm).

6. 如果两个相似三角形的周长之比为 1:4,那么它们的某一对对应角的角平分线之比为______.

答案： 1:4

7. 已知$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,且$\triangle ABC与\triangle DEF$的相似比为 2:3,若$\triangle DEF$的面积为 36,则$\triangle ABC$的面积等于______.

答案： 16
∵△ABC∽△DEF,相似比为2:3,
∴△ABC的面积与△DEF的面积比为4:9.
∵△DEF的面积为36，
∴△ABC的面积为16.

8. 如图,在$□ ABCD$中,$AC$是一条对角线,$EF// BC$,且$EF与AB相交于点E$,与$AC相交于点F$,$3AE = 2EB$,连接$DF$.若$S_{\triangle AEF}= 1$,则$S_{\triangle ADF}$的值为______.

答案： $\frac{5}{2}$
∵3AE=2EB,
∴可设AE=2a,BE=3a,a＞0.
∵EF//BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{AE}{AB}\right)^2=\left(\frac{2a}{2a+3a}\right)^2=\frac{4}{25}$.
∵$S_{\triangle AEF}=1$,
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{25}{4}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}=\frac{25}{4}$.
∵EF//BC,
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{BE}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{AF}{CF}=\frac{2}{3}$,
∴$S_{\triangle ADF}=\frac{2}{5}S_{\triangle ADC}=\frac{2}{5}×\frac{25}{4}=\frac{5}{2}$.

9. 已知$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$,且$DE = 3$ cm,$AB = 4$ cm,$BC = 5$ cm,$CA = 6$ cm,求$\triangle DEF$的周长.

答案： 解:△ABC的周长=AB+BC+CA=4+5+6=15(cm).
∵△ABC∽△DEF,
∴$\frac{\triangle ABC的周长}{\triangle DEF的周长}=\frac{AB}{DE}=\frac{4}{3}$
∴△DEF的周长为$\frac{3}{4}×15=\frac{45}{4}$(cm).

10. 已知在四边形$ABCD$中,$\angle BAD= \angle BDC = 90^{\circ}$,$BD^{2}= AD\cdot BC$.
(1)求证：$AD// BC$；
(2)过点$A作AE// CD交BC于点E$.请完善图形并求证：$CD^{2}= BE\cdot BC$.

答案：

(1)证明:
∵∠BAD=∠BDC=90°,BD²=AD·BC,
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{BD}$.
∴△ADB∽△DBC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴AD//BC.
(2)解:如图所示， 证明:
∵AD//BC,AE//DC,
∴四边形ADCE是平行四边形，∠AEB=∠BCD，
∴AE=DC.又∠BAD=∠BDC=90°,AD/BC,
∴∠BAD+∠ABE=180°,
∴∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠BDC,
∴△ABE∽△BDC,
∴$\frac{BE}{DC}=\frac{AE}{BC}$，
∴AE·DC=BE·BC.
∵AE=DC,
∴CD²=BE·BC.