《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

3. 已知抛物线 $ y = x^{2} + ax + b $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1) 填空：$ a = $-4，$ b = $3.
(2) 如图，已知点 $ E(\frac{5}{2},0) $，过点 $ E $ 的直线与抛物线交于点 $ M $，$ N $，且点 $ M $，$ N $ 关于点 $ E $ 对称，求直线 $ MN $ 的表达式.

答案： 3.解：
(1)-4,3.
(2)由
(1)得抛物线解析式为$ y=x^{2}-4x+3，$设 M,N 的横坐标为 m,n，直线 MN 过点$ E(\frac{5}{2},0)，$
设直线 MN 的解析式为$ y=k(x-\frac{5}{2})，$联立两个解析式并整理，得$ x^{2}-(4+k)x+(3+\frac{5}{2}k)=0，$则 m+n=4+k，
∵点 M,N 关于点 E 对称，则$ m+n=2×\frac{5}{2}=5，$
∴k=1，即直线 MN 的解析式为$ y=x-\frac{5}{2}.$

4. 如图，二次函数 $ y = (x - 1)(x - a) $（$ a $ 为常数）的图象的对称轴为直线 $ x = 2 $.
(1) 求 $ a $ 的值.
(2) 向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

答案： 4.解：
(1)抛物线与 x 轴的交点坐标是(1,0)和(a,0).
∵对称轴为直线 x=2，
∴$\frac{1+a}{2}=2，$解得 a=3.
(2)由
(1)知，a=3，则该抛物线表达式是$ y=x^{2}-4x+3，$
∵抛物线向下平移 3 个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是$ y=x^{2}-4x.$