《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 在平面直角坐标系中，如果抛物线$y = 2x^{2}$不动，而坐标轴向上、向右各平移$2$个单位长度，那么新的平面直角坐标系中抛物线的函数表达式是(B)

A.$y = 2(x - 2)^{2} + 2$
B.$y = 2(x + 2)^{2} - 2$
C.$y = 2(x - 2)^{2} - 2$
D.$y = 2(x + 2)^{2} + 2$

答案： 7.B

8. 二次函数$y = a(x + k)^{2} + k(a \neq 0)$，无论$k$为何实数，其图象的顶点总在直线$y = -x$上。

答案： 8.$y = -x$

9. 如图，点$P(a, 3)$在抛物线$C: y = 4 - (6 - x)^{2}$上，且在$C$的对称轴右侧。
(1) 写出$C$的对称轴和$y$的最大值，并求$a$的值。
(2) 在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点$P$及$C$的一段，分别记为$P'$，$C'$。平移该胶片，使$C'$所在抛物线对应的函数恰为$y = -x^{2} + 6x - 9$。求点$P'$移动的最短路程。
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答案： 9.解：
(1)$y = 4 - (6 - x)^{2} = -(x - 6)^{2} + 4$，
∴$C$的对称轴为$x = 6$，$y$的最大值为4，把点$P(a,3)$代入抛物线$C$的表达式，得$-(a - 6)^{2} + 4 = 3$，解得$a = 5$(舍去)或$a = 7$.
(2)$C'$的表达式为$y = -x^{2} + 6x - 9 = -(x - 3)^{2}$，
∴抛物线$C$平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，
∴点$P'$移动的最短路程为$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.

10. 二次函数$y = \frac{1}{2}(x - h)^{2}$的图象如图所示，已知抛物线的顶点为$A$，与$y$轴交于点$B$，且$OA = OB$。
(1) 求该抛物线的函数表达式。
(2) 请直接写出该抛物线关于$y$轴对称的图象的函数表达式。
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答案： 10.解：
(1)
∵点$A$为抛物线$y = \frac{1}{2}(x - h)^{2}$的顶点，
∴$A(h,0)$，
∴$OA = h$，
∵$OA = OB$，且点$B$在$y$轴的正半轴上，
∴$OB = h$，
∴$B(0,h)$，把$B(0,h)$代入$y = \frac{1}{2}(x - h)^{2}$，
得$h = \frac{1}{2}(0 - h)^{2}$，解得$h_1 = 0$(不合题意，舍去)，$h_2 = 2$，
答案
∴该抛物线的函数表达式为$y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2}$.
(2)$y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2}$.