《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

一、锐角三角函数的概念
【例 1】在锐角△ABC 中，AB = 15，BC = 14，$S_{△ABC} = 84，$则 tan C 的值为$\frac{12}{5}$。

答案： 【例1】$\frac{12}{5}$

练习 1 计算：
(1) 2sin 60° + cos 45° - tan 60°。
(2) √3 sin 60° + tan 60° - 2cos²30°。

答案： 练习1.解：
(1)原式$=2 × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$．
(2)原式$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - 2 × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{2} + \sqrt{3} - \frac{3}{2} = \sqrt{3}$．

【例 2】如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC = 90°，∠ADC = 90°，AB = 6，CD = 4，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E。(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
(1) 若∠A = 60°，求 BC 的长。
(2) 若 sin A = $\frac{4}{5}$，求 AD 的长。

答案： 【例2】解：
(1)$\because \angle A = 60^{\circ}$，$\angle ABE = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$\tan A = \frac{BE}{AB}$，
$\therefore \angle E = 30^{\circ}$，$BE = \tan 60^{\circ} \cdot 6 = 6\sqrt{3}$，又$\because \angle CDE = 90^{\circ}$，$CD = 4$，$CE = 8$，$\therefore BC = BE - CE = 6\sqrt{3} - 8$．
(2)$\because \angle ABE = 90^{\circ}$，$AB = 6$，由$\sin A = \frac{4}{5}$，
得$\tan A = \frac{4}{3}$，即$\frac{BE}{AB} = \frac{4}{3}$，又$\because \triangle ABE \backsim \triangle CDE$，
$\therefore \frac{DE}{CD} = \frac{BE}{AB} = \frac{4}{3}$，解得$DE = \frac{16}{3}$，
$\therefore AD = AE - DE = 10 - \frac{16}{3} = \frac{14}{3}$，即$AD$的长是$\frac{14}{3}$．

练习 2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4，tan A = $\frac{3}{4}$。以点 C 为圆心、CB 长为半径的圆交 AB 于点 D，则 AD 的长是 (B)

A.1
B.$\frac{7}{5}$
C.$\frac{3}{2}$
 D.2

答案： 练习2.B

练习 3 如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 2，CD = 8。连结 AC，AC ⊥ CD。若 sin∠ACB = $\frac{1}{3}$，则 AD 的长是10。

答案： 练习3.10