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【例 1】如
(1) 求证：$AB = AC$。
(2) 若 $BD = 11$，$DE = 2$，求 $CD$ 的长。
图
，四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$F$ 是 $CD$ 延长线上的一点，且 $AD$ 平分 $\angle BDF$，$AE\perp CD$ 于点 $E$。(1) 求证：$AB = AC$。
(2) 若 $BD = 11$，$DE = 2$，求 $CD$ 的长。
答案：
(1)证明:
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF=∠ADB,
∵∠ADF=∠ABC,∠ACB=∠ADB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
(2)解:过点A作AG⊥BD，垂足为点G.可证
Rt△AED≌Rt△AGD,
∴GD=ED=2,
在Rt△AEC和Rt△AGB中，$\begin{cases}AE = AG, \\AB = AC,\end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△AGB(HL),
∴BG=CE,
∵BD=11,
∴BG=BD−GD=11−2=9,
∴CE=BG=9,
∴CD=CE−DE=9−2=7.
(1)证明:
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF=∠ADB,
∵∠ADF=∠ABC,∠ACB=∠ADB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
(2)解:过点A作AG⊥BD，垂足为点G.可证
Rt△AED≌Rt△AGD,
∴GD=ED=2,
在Rt△AEC和Rt△AGB中，$\begin{cases}AE = AG, \\AB = AC,\end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△AGB(HL),
∴BG=CE,
∵BD=11,
∴BG=BD−GD=11−2=9,
∴CE=BG=9,
∴CD=CE−DE=9−2=7.
练习 1 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$AE\perp CB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $E$。若 $BA$ 平分 $\angle DBE$，$AD = 5$，$CE = \sqrt{13}$，则 $AE =$ (
A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
D
)A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案：
练习1.D
练习 2 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90°$，过 $B$，$C$ 两点的 $\odot O$ 交 $AC$ 于点 $D$，交 $AB$ 于点 $E$，连结 $EO$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $F$，连结 $BF$，$CF$。若 $\angle EDC = 135°$，$CF = 2\sqrt{2}$，则 $AE^2 + BE^2$ 的值为 (
A.$8$
B.$12$
C.$16$
D.$20$
C
)A.$8$
B.$12$
C.$16$
D.$20$
答案：
练习2.C [解析]可证△ACE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF,
∵Rt△ECF中,CF=2$\sqrt{2}$,∠EFC=45°,
∴EF²=16,
则AE²+BE²=BF²+BE²=EF²=16.
∴AE=BF,
∵Rt△ECF中,CF=2$\sqrt{2}$,∠EFC=45°,
∴EF²=16,
则AE²+BE²=BF²+BE²=EF²=16.
练习 3 如图，五边形 $ABCDE$ 是 $\odot O$ 的内接正五边形，$AF$ 是 $\odot O$ 的直径，则 $\angle BDF$ 的度数是 
$°$。
54
$°$。
答案：
练习3.54
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