《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 如图，将 $ \triangle ABC $ 放在每个小正方形的边长为 $ 1 $ 的网格中，点 $ A $，$ B $，$ C $ 在格点上，则 $ \angle A $ 的正切值是(D)

A.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \frac{\sqrt{10}}{5} $
C.$ 2 $
D.$ \frac{1}{2} $
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答案： 7.D

8. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A $ 为钝角，$ AB = 25 $，$ AC = 39 $，$ \sin B = \frac{3}{5} $，求 $ \tan C $ 和 $ BC $ 的长。
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答案：
8.解:过点A作AD⊥BC于D，如图所示.
　　　　　　　　　
　在Rt△ABD中,AB=25,sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{AD}{25}$=$\frac{3}{5}$,
∴AD=15,
　在Rt△ACD中,CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{39^{2}-15^{2}} = 36$,
∴tanC=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{15}{36}$=$\frac{5}{12}$;
　在Rt△ABD中,BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}} = 20$,
∴BC=BD+CD=20+36=56.

9. 阅读下列材料：
在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A $，$ \angle B $，$ \angle C $ 所对的边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。求证：$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $。
证明：如图 $ 1 $，过点 $ C $ 作 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $，
在 $ Rt\triangle BCD $ 中，$ CD = a\sin B $，
在 $ Rt\triangle ACD $ 中，$ CD = b\sin A $，
$ \therefore a\sin B = b\sin A $。
$ \therefore \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $。
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图 $ 2 $，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A $，$ \angle B $，$ \angle C $ 所对的边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。求证：$ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $。
（2）如图 $ 3 $，规划中的一片三角形区域需美化。已知 $ \angle A = 67^{\circ} $，$ \angle B = 53^{\circ} $，$ AC = 80 $ 米，求这片区域的面积。（结果保留根号，参考数据：$ \sin 53^{\circ} \approx 0.8 $，$ \sin 67^{\circ} \approx 0.9 $）
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答案：
9.
(1)证明:如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
　在Rt△ABD中,AD=csinB，在Rt△ACD中，
　AD=bsinC,
∴csinB=bsinC,
∴$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$.
　　　　 　
(2)解:如图3,过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC=67°,∠B=53°,
∴∠C=60°,
　在Rt△ACE中,AE=AC·sin60°=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$(m),又
∵$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sin\angle BAC}$,即$\frac{80}{0.8}$=$\frac{BC}{0.9}$,
∴BC=90(m),
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×90×40$\sqrt{3}$=1800$\sqrt{3}$(m²).