《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 如图，点 $O$ 为线段 $BC$ 的中点，点 $A$，$C$，$D$ 到点 $O$ 的距离相等. 若 $\angle ABC = 40^{\circ}$，则 $\angle ADC$ 的度数是(B)

A.$130^{\circ}$
B.$140^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$160^{\circ}$

答案： 7.B

8. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$\odot O$ 经过点 $A$，$C$，$D$，与 $BC$ 相交于点 $E$，连结 $AC$，$AE$. 若 $\angle D = 70^{\circ}$，则 $\angle EAC$ 的度数为15°.

答案： 8.15°

9. 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$E$ 为 $BC$ 延长线上一点，连结 $AC$，$BD$. 若 $DA = DB$，求证：$CD$ 平分 $\angle ACE$.

答案： 9.证明:
∵四边形ABCD内接于⊙O,易证∠DAB=∠DCE.
∵DA=DB,
∴∠DAB=∠DBA,
∴∠DBA=∠DCE.
∵∠DBA与∠DCA是同弧所对的圆周角，
∴∠DBA=∠DCA,
∴∠DCA=∠DCE,即CD平分∠ACE.

10. 如图，在 $\odot O$ 中，$B$ 是 $\odot O$ 上的一点，$\angle ABC = 120^{\circ}$，弦 $AC = 2\sqrt{3}$，弦 $BM$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$，连结 $MA$，$MC$.
（1）求 $\odot O$ 半径的长.
（2）求证：$AB + BC = BM$.

答案：
10.
(1)解:
∵∠ABC=120°,BM平分∠ABC,
∴∠MBA=∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°.
∴∠ACM=∠ABM=60°.∠MAC=∠MBC=60°.
∴在△AMC中,∠AMC=60°.
∴△AMC是等边三角形.
　如图，连结OA,OC，过点O作OH⊥AC于点H.
∴AO=CO,∠AOC=2∠AMC=120°.
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$
∴在Rt△AOH中,AO=2,
∴⊙O的半径为2.
　
(2)证明:如图，在BM上截取BE=BC，连结CE，
∵∠MBC=60°,BE=BC,
∴△EBC为等边三角形，
∴CE=CB=BE,∠BCE=60°,
∴∠BCD+∠DCE=60°,
∵∠ACM=60°,
∴∠ECM+∠DCE=60°.
∴∠ECM=∠BCD.又
∵AC=MC,
∴△ACB≌△MCE(SAS).
∴AB=ME.
∵ME+EB=BM,
∴AB+BC=BM.