《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

8. 问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论。如图1，已知$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，可证$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。小慧的证明思路是：如图2，过点$C$作$CE// AB$，交$AD$的延长线于点$E$，构造相似三角形来证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
尝试证明：
(1) 请参照小慧提供的思路，利用图2证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
应用拓展：
(2) 如图3，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$D$是边$BC$上一点。连结$AD$，将$\triangle ACD$沿$AD$所在直线折叠，点$C$恰好落在边$AB$上的$E$点处。若$AC = 1$，$AB = 2$，求$DE$的长。

答案： 8.
(1)证明:
∵CE//AB,
∴△CED∽△BAD,
∴$\frac{CE}{AB} = \frac{CD}{BD}$,
　又
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD = ∠CAD,
∵CE//AB,
∴∠CED = ∠BAD,则∠CAD = ∠CED,
∴AC = CE,即$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BD}$.
(2)由题意，得∠CAD = ∠BAD,CD = DE,由
(1)知，
　$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BD}$，即$\frac{1}{2} = \frac{CD}{BD}$,
∴BD = 2CD,又
∵∠BAC = 90°,
∴BC = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$,即BD + CD = 3CD = $\sqrt{5}$,
∴CD = $\frac{\sqrt{5}}{3}$,即DE = $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

9. 如图，四边形$ABCD$内接于圆$O$，$AB$是直径，$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，延长$AD$交$BC$的延长线于点$E$。
(1) 求证：$CE = CD$。
(2) 若$AB = 3$，$BC = \sqrt{3}$，求$AD$的长。

答案：
9.
(1)证明:连结AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB = ∠ACE = 90°，又
∵点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴∠CAE = ∠CAB，CD = CB,又
∵AC = AC,
∴△ACE≌△ACB (ASA),
∴CE = CB,
∴CE = CD.
　
(2)解:
∵△ACE≌△ACB,AB = 3,
∴AE = AB = 3,
　又
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°,又
∵∠ADC + ∠CDE = 180°,
∴∠CDE = ∠ABE,
　又
∵∠E = ∠E,
∴△EDC∽△EBA,
∴$\frac{DE}{BE} = \frac{CD}{AB}$,
　即$\frac{DE}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,解得DE = 2,
∴AD = AE−DE = 1.