《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 已知等腰$\triangle ABC$的三个顶点都在半径为$5$的$\odot O$上，如果底边$BC$的长为$8$，那么$BC$边上的高为(C)

A.$2$
B.$8$
C.$2$或$8$
D.$3$

答案： 7.C

8. 如图，$\odot O$的半径是$4$，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形，过圆心$O$分别作$AB$，$BC$，$AC$的垂线，垂足为$E$，$F$，$G$，连结$EF$.若$OG = 1$，求线段$EF$的长.

答案：
8.解:连结OC，如图，
∵OG⊥AC,
∴CG=AG,
在Rt△OCG中,CG=$\sqrt{OC² - OG²}$ = $\sqrt{15}$,

∴AC=2CG=2$\sqrt{15}$,
∵OE⊥AB,OF⊥BC,
∴AE=BE,BF=CF,
∴EF为△BAC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{15}$.

9. 如图，在半径为$5$的扇形$AOB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$C$是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点（不与点$A$，$B$重合），$OD\perp BC$，$OE\perp AC$，垂足分别为$D$，$E$.
(1) 若$BC = 6$，求线段$OD$的长.
(2) 在$\triangle DOE$中是否存在长度保持不变的边？度数保持不变的角？如果存在，请指出并求出其相应的长度或角度；如果不存在，请说明理由.

答案：
9.解:
(1)
∵OD⊥BC,
∴BD=3.
∵∠BDO=90°,OB=5,BD=3,
∴OD=$\sqrt{OB²−BD²}$=4.
(2)存在，DE的长保持不变，∠DOE的度数保持不变.如图，连结AB.
∵∠AOB=90°,OA=OB=5,
∴AB=$\sqrt{OB²+OA²}$=5$\sqrt{2}$.

∵OD⊥BC,OE⊥AC,
∴D,E分别是线段BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.连结OC.
∵OD⊥BC,OE⊥AC,OB=OC=OA,
∴∠BOD=∠COD,∠AOE=∠COE.
∵∠AOB=90°,
∴∠DOE=∠COD+∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°.