《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

7. 如图，$ MN $是$ \odot O $的直径，点$ A $是半圆上一个三等分点，点$ B $是$ \overset{\frown}{AN} $的中点，点$ B' $是点$ B $关于$ MN $的对称点，$ \odot O $的半径为$ 1 $，则$ AB' $的长等于(B)


A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.2

答案： 7.B

8. 在直径为$ 10 $的$ \odot O $中，弦$ AB = 5 $，$ BC = 5\sqrt{2} $，则$ \angle ABC $的度数是15°或105°.

答案： 8.15°或105°

9. 如图，$ AB $是圆$ O $的弦，$ C $，$ D $是$ AB $上两点，$ AC = BD $，求证：$ \overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{BE} $.

答案： 9.证明:
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,在△OAC和△OBD中，
$\begin{cases} OA = OB, \\ ∠A = ∠B, \\ AC = BD, \end{cases}$
∴△OAC≌△OBD,
∴∠AOE=∠BOF,
AE = BF,
∴$\overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{BE}$.

10. 如图，$ AB $为$ \odot O $的直径，$ C $，$ D $分别为$ OA $，$ OB $的中点，$ CF \perp AB $，$ ED \perp AB $，点$ E $，$ F $都在$ \odot O $上，求证：
（1）$ CF = DE $.
（2）$ \overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{EF} = \overset{\frown}{BE} $.
（3）$ AE = 2CF $.

答案：
10.证明:
(1)连结OF，OE，如图，
∵AB为⊙O的直径，C，D分别为OA， OB的中点，
∴OC=OD,而OF=OE,
∴Rt△OCF≌Rt△ODE,
∴CF=DE.
(2)在Rt△OCF中,OC=$\frac{1}{2}$OF,
∴∠CFO=30°,
∴∠COF=60°,同理∠BOE=60°,
∴∠EOF=60°,
∴∠AOF=∠FOE=∠EOD,
∴$\overset{\frown}{AF} = \overset{\frown}{EF} = \overset{\frown}{BE}$.
(3)
∵OE=OA,
∴∠A=∠OEA,
∵∠DOE=∠A+∠OEA=60°,
∴∠A=30°,
∴AE=2DE,
∴AE=2CF.