《2025年名师面对面学科素养评价九年级数学全一册浙教版》

【例 4】设二次函数 $ y_{1} = 2x^{2} + bx + c(b,c $ 是常数）的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点。
(1) 若 $ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $ (1,0) $，$ (2,0) $，求函数 $ y_{1} $ 的表达式及其图象的对称轴。
(2) 若函数 $ y_{1} $ 的表达式可以写成 $ y_{1} = 2(x - h)^{2} - 2(h $ 是常数）的形式，求 $ b + c $ 的最小值。
(3) 设一次函数 $ y_{2} = x - m(m $ 是常数），若函数 $ y_{1} $ 的表达式还可以写成 $ y_{1} = 2(x - m)(x - m - 2) $ 的形式，当函数 $ y = y_{1} - y_{2} $ 的图象经过点 $ (x_{0},0) $ 时，求 $ x_{0} - m $ 的值。

答案：
(1)$\because$二次函数$y_{1} = 2x^{2} + bx + c$过点$A(1,0)$，$B(2,0)$，$\therefore y_{1} = 2(x - 1)(x - 2)$，即$y_{1} = 2x^{2} - 6x + 4$。
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = \frac{3}{2}$。
(2)把$y_{1} = 2(x - h)^{2} - 2$化成一般式，
得$y_{1} = 2x^{2} - 4hx + 2h^{2} - 2$。
$\therefore b = -4h$，$c = 2h^{2} - 2$。$\therefore b + c = 2h^{2} - 4h - 2 = 2(h - 1)^{2} - 4$。
把$b + c$的值看作是$h$的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，$\therefore$当$h = 1$时，$b + c$的最小值是$-4$。
(3)由题意，得$y = y_{1} - y_{2} = 2(x - m)(x - m - 2) - (x - m) = (x - m)[2(x - m) - 5]$。
$\because$函数$y$的图象经过点$(x_{0},0)$，
$\therefore(x_{0} - m)[2(x_{0} - m) - 5] = 0$。
$\therefore x_{0} - m = 0$或$2(x_{0} - m) - 5 = 0$。
即$x_{0} - m = 0$或$x_{0} - m = \frac{5}{2}$。