《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

26. (10分)如图,反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程$s$(千米)和行驶时间$t$(小时)之间的关系,根据所绘图象,解答下列问题:
(1)写出甲的行驶路程$s$和行驶时间$t$之间的函数关系式;$s = 20t$
(2)在哪一段时间内甲的行驶速度小于乙的行驶速度?在哪一段时间内,甲的行驶速度大于乙的行驶速度?当$0 ＜ t ＜ 1$时，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；当$t ＞ 1$时，甲的行驶速度大于乙的行驶速度。

答案： 解：
(1) 设$s_{甲} = kt$，
将点$(3, 60)$代入$s_{甲} = kt$，得$60 = 3k$，解得$k = 20$，
$\therefore$ 甲的行驶路程$s$和行驶时间$t$之间的函数关系式为$s = 20t$；
(2) 当$0 ＜ t ＜ 1$时，$v_{乙} = 30$千米/时，
当$t ＞ 1$时，$v_{乙} = \frac{60 - 30}{3 - 1} = 15$千米/时，
由
(1)得$v_{甲} = 20$千米/时，
$\therefore$ 当$0 ＜ t ＜ 1$时，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；
当$t ＞ 1$时，甲的行驶速度大于乙的行驶速度。

27. (12分)阅读下面的材料:
小明遇到一个问题,如图1,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,对角线$AC$,$BD相交于点O$.若梯形$ABCD$的面积为1,试求以$AC$、$BD$、$AD + BC$的长度为三边长的三角形面积.
小明是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可,他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是:如图2,过点$D作AC的平行线交BC的延长线于点E$,得到的$△BDE即为以AC$、$BD$、$AD + BC$的长度为三边长的三角形.
参考小明同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,$△ABC的三条中线分别为AD$、$BE$、$CF$.
(1)在图中利用图形变换画出并指明以$AD$、$BE$、$CF$的长度为三边长的一个三角形;(保留作图痕迹)
(2)连接$DE$,若$△CDE$的面积为1,则以$AD$、$BE$、$CF$的长度为三边长的三角形的面积为多少?

答案：
解：
(1) 如图，以$AD$、$BE$、$CF$的长度为三边长的一个三角形是$\triangle CFP$；
(2) 如图，平移$AF$到$PE$，连接$AP$、$FE$，延长$FE$交$PC$于点$N$，可得$AF // PE$，$AF = PE$，
$\therefore$ 四边形$AFEP$为平行四边形，
$\therefore AE$与$PF$互相平分，即$M$为$PF$的中点，
又$\because AP // FN$，$F$为$AB$的中点，
$\therefore N$为$PC$的中点，
$\therefore E$为$\triangle PFC$各边中线的交点，
$\therefore \triangle PEC$的面积为$\triangle PFC$面积的$\frac{1}{3}$，
由题意得$DE$与$PE$在一条直线上，且$DE = PE$，
$\therefore S_{\triangle PEC} = S_{\triangle EDC}$，
$\because S_{\triangle EDC} = 1$，$\therefore S_{\triangle PEC} = 1$，
$\therefore S_{\triangle PFC} = 3S_{\triangle PEC} = 3$，
$\therefore$ 以$AD$、$BE$、$CF$的长度为三边长的三角形的面积为 3。