《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

1. 如图 1 是一个直角三角形纸片,$ ∠A = 30^{\circ} $,$ BC = 4cm $,将其折叠,使点 C 落在斜边 AB 上的点 $ C' $处,折痕为 BD(如图 2),再沿 DE 折叠,使点 A 落在 $ DC' $延长线上的点 $ A' $处(如图 3),则折痕 DE 的长为$\frac{8}{3}cm$.

答案： 1. $\frac{8}{3}cm$

2. (1) 如图 1,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,连接 AE、AF、EF,且 $ ∠EAF = 45^{\circ} $,延长 CD 到点 G,使 $ DG = BE $,连接 AG. 求证：$ EF = FG $；
(2) 如图 2,等腰 $ Rt△ABC $中,$ ∠BAC = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,点 M、N 在边 BC 上,且 $ ∠MAN = 45^{\circ} $,若 $ BM = 1 $,$ CN = 3 $,求 MN 的长.

答案：
2.
(1) 证明：在正方形$ABCD$中，
$\angle B=\angle ADG = 90^{\circ}$，$AD = AB$，
在$\triangle ABE$和$\triangle ADG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\ \angle B=\angle ADG\\ BE = DG\end{array}\right.$
∴$\triangle ABE\cong\triangle ADG(SAS)$，
∴$\angle BAE=\angle DAG$，$AE = AG$，
∴$\angle EAG=\angle EAD+\angle DAG=\angle EAD+\angle BAE = 90^{\circ}$，
∵$\angle EAF = 45^{\circ}$，
∴$\angle GAF = 90^{\circ}-\angle EAF = 45^{\circ}=\angle EAF$，
在$\triangle FAE$和$\triangle FAG$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AG\\ \angle EAF=\angle GAF\\ AF = AF\end{array}\right.$
∴$\triangle FAE\cong\triangle FAG(SAS)$，
∴$EF = FG$；
(2) 解：如图，将$\triangle ABM$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$至$\triangle ACE$的位置，连接$EN$，

则$\angle ACE=\angle B$，$AE = AM$，$\angle MAE = 90^{\circ}$，$EC = BM = 1$，
∵$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle B=\angle ACB = 45^{\circ}$，
∴$\angle ACE = 45^{\circ}$，
∴$\angle NCE=\angle ACB+\angle ACE = 90^{\circ}$，
∵$\angle MAN = 45^{\circ}$，
∴$\angle EAN=\angle MAE-\angle MAN = 45^{\circ}=\angle MAE$，
在$\triangle MAN$和$\triangle EAN$中，$\left\{\begin{array}{l}AM = AE\\ \angle MAN=\angle EAN\\ AN = AN\end{array}\right.$
∴$\triangle MAN\cong\triangle EAN(SAS)$，
∴$MN = EN$，
在$Rt\triangle ENC$中，由勾股定理，
得$EN^{2}=EC^{2}+NC^{2}$，
∴$MN^{2}=BM^{2}+NC^{2}$，
∵$BM = 1$，$CN = 3$，
∴$MN^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，
∴$MN=\sqrt{10}$。