《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

4. 如图,四边形$ABCD的对角线相交于点O$,$\angle ABD = \angle CDB$,请添加一个条件$AD // BC$（答案不唯一）,使四边形$ABCD$是平行四边形。(填一个即可)

答案： 4. $AD // BC$（答案不唯一）

5. 在平面直角坐标系中,有$A(-3,0)$,$B(1,0)$,$C(0,2)$三点,另有一点$D与点A$、$B$、$C$构成平行四边形的顶点,则点$D$的坐标为$(-4, 2)$或$(4, 2)$或$(-2, -2)$。

答案： 5. $(-4, 2)$或$(4, 2)$或$(-2, -2)$

6. 如图,四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$AE\perp AD交BD于点E$,$CF\perp BC交BD于点F$,且$AE = CF$,求证：四边形$ABCD$是平行四边形。
证明：$\because AE \perp AD, CF \perp BC, \therefore \angle EAD = \angle FCB =$$90^{\circ}$，
$\because AD // BC, \therefore \angle ADE =$$\angle CBF$，
在$\triangle AED$和$\triangle CFB$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ADE = \angle CBF \\ \angle EAD = \angle FCB \\ AE = CF \end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AED \cong \triangle CFB$(AAS), $\therefore AD =$$BC$，
$\because AD // BC, \therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。

答案： 6. 证明：$\because AE \perp AD, CF \perp BC, \therefore \angle EAD = \angle FCB = 90^{\circ}$，
$\because AD // BC, \therefore \angle ADE = \angle CBF$，
在$\triangle AED$和$\triangle CFB$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ADE = \angle CBF \\ \angle EAD = \angle FCB \\ AE = CF \end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AED \cong \triangle CFB(AAS), \therefore AD = BC$，
$\because AD // BC, \therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。

7. 如图,在等边$\triangle ABC$中,D是BC的中点,以AD为边向左侧作等边$\triangle ADE。$(1) 求$\angle CAE$的度数；解：$\because \triangle ABC$与$\triangle ADE$为等边三角形，$\therefore \angle BAC = \angle DAE = 60^{\circ}，$$\because D$是BC的中点，$\therefore \angle CAD = \angle DAB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}，$$\therefore \angle CAE = \angle CAD + \angle DAE = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$(2) 取AB的中点F,连接CF、EF。试证明四边形CDEF是平行四边形。证明：$\because $在等边$\triangle ABC$中，D、F分别是BC、AB的中点，$\therefore AD = CF, \angle FCB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}, AD \perp BC，$$\because $在等边$\triangle ADE$中，$AD = DE, \angle ADE = 60^{\circ}，$$\therefore CF = AD = DE, \angle EDB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}，$$\therefore \angle EDB = \angle FCB, \therefore CF // DE，$$\therefore $四边形CDEF是平行四边形。

答案： 7.
(1) 解：$\because \triangle ABC$与$\triangle ADE$为等边三角形，
$\therefore \angle BAC = \angle DAE = 60^{\circ}$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore \angle CAD = \angle DAB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle CAE = \angle CAD + \angle DAE = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$；
(2) 证明：$\because$ 在等边$\triangle ABC$中，$D$、$F$分别是$BC$、$AB$的中点，
$\therefore AD = CF, \angle FCB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}, AD \perp BC$，
$\because$ 在等边$\triangle ADE$中，$AD = DE, \angle ADE = 60^{\circ}$ 
$\therefore CF = AD = DE, \angle EDB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle EDB = \angle FCB, \therefore CF // DE$，
$\therefore$ 四边形$CDEF$是平行四边形。

例 3 如图,$M是\triangle ABC的边BC$的中点,$AN平分\angle BAC$,$BN\perp AN于点N$,且$AB = 8$,$MN = 3$,则$AC$的长是(B)
A.12
B.14
C.16
D.18

答案： B

8. 如图,在$□ ABCD$中,$AD = 8$,点$E$,$F分别是BD$,$CD$的中点,则$EF = $(C)
A.2
B.3
C.4

D.5

答案： 8. C

9. 如图所示,在四边形$ABCD$中,$AD = BC$,$P是对角线BD$的中点,$M是DC$的中点,$N是AB$的中点。请判断$\triangle PMN$的形状,并说明理由。

解：$\triangle PMN$是等腰三角形。理由如下：
$\because$ 点$P$是$BD$的中点，点$M$是$CD$的中点，
$\therefore PM = \frac{1}{2}BC$，
同理：$PN = \frac{1}{2}AD$，
$\because AD = BC, \therefore PM = PN$，
$\therefore \triangle PMN$是等腰三角形。

答案： 9. 解：$\triangle PMN$是等腰三角形。理由如下：
$\because$ 点$P$是$BD$的中点，点$M$是$CD$的中点，
$\therefore PM = \frac{1}{2}BC$，
同理：$PN = \frac{1}{2}AD$，
$\because AD = BC, \therefore PM = PN$，
$\therefore \triangle PMN$是等腰三角形。

例 4 如图,小华从点$A$出发,沿直线前进 10 米后左转$24^{\circ}$,再沿直线前进 10 米,又左转$24^{\circ}$,…,照这样走下去,他第一次回到出发地点$A$时,一共走的路程是150米？

答案： 【解析】：小华每次沿直线前进10米后左转$24^{\circ}$，当他第一次回到出发点A时，所经过的路径构成一个正多边形。因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，每次左转的角度$24^{\circ}$即为这个正多边形的一个外角，所以边数$n = 360^{\circ} ÷ 24^{\circ} = 15$。由于每边长10米，因此一共走的路程为$15 × 10 = 150$米。
【答案】：150