《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

1. 如图,BD是△ABC的角平分线,∠ABD = 36°,∠C = 72°,则图中的等腰三角形有______3个。

答案： 3

2. 如图,在△ABC中,AB = AC,D为BC的中点,∠BAD = 35°,则∠C的度数为______55°。

答案： $55^{\circ}$

例2 如图,将一等边三角形剪去一个角后,∠1 + ∠2 = 240度。

答案： 【解析】：因为原图形是等边三角形，所以每个内角都是 60°。将等边三角形剪去一个角后，得到一个四边形。根据四边形内角和为 360°，设剪去角后剩余的两个角分别为∠A 和∠B（即原等边三角形未被剪到的两个内角），则∠A = ∠B = 60°。在这个四边形中，∠1 + ∠2 + ∠A + ∠B = 360°，所以∠1 + ∠2 = 360° - ∠A - ∠B = 360° - 60° - 60° = 240°。
【答案】：240

3. 在△ABC中,AB = AC,若要使△ABC是等边三角形,则需添加一个条件：$\angle A = 60^{\circ}$或$AB = BC$。(从不同角度填空)

答案： $\angle A = 60^{\circ}$ $AB = BC$（答案不唯一）

4. 如图,等边△ABC中,在BC边所在的直线上分别截取BD = BA,CE = CA,连接AD,AE,则∠DAE的度数是$120^{\circ}$。

答案： $120^{\circ}$

例3 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,且DA = DB。若CD = 4,则BC = ______12。

答案： 【解析】：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，所以∠DAB=∠DAC。因为DA=DB，根据等边对等角可得∠DAB=∠B，从而∠DAC=∠DAB=∠B。设∠B=x，则∠DAC=∠DAB=x，由于∠C=90°，三角形内角和为180°，所以∠BAC+∠B=90°，即∠DAB+∠DAC+∠B=90°，也就是x+x+x=90°，解得x=30°，所以∠DAC=30°。在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，CD=4，根据含30°角的直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=2CD=8。因为DA=DB，所以DB=AD=8，那么BC=BD+CD=8+4=12。
【答案】：12

5. 如图,∠A = ∠D = 90°,再添加一个条件：AB = CD（或 AC = DB）,即可使Rt△ABC ≌ Rt△DCB,理由是HL。

答案： $AB = CD$（或 $AC = DB$） $HL$（答案不唯一）

6. 如图,已知四边形ABCD中,∠A = 90°,AB = 16,BC = 25,CD = 15,AD = 12,求四边形ABCD的面积。

解: $\because \angle A = 90^{\circ}$, $\therefore BD^{2} = AD^{2} + AB^{2}$,
$\because AD = 12$, $AB = 16$, $\therefore BD = $20,
$\because BD^{2} + CD^{2} = 20^{2} + 15^{2} = 25^{2} = BC^{2}$,
$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}$,
$\therefore S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot AD = \frac{1}{2} × 16 × 12 = $96,
$S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2}BD \cdot CD = \frac{1}{2} × 20 × 15 = $150,
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC} = 96 + 150 = $246.

答案： 解: $\because \angle A = 90^{\circ}$, $\therefore BD^{2} = AD^{2} + AB^{2}$,
$\because AD = 12$, $AB = 16$, $\therefore BD = 20$,
$\because BD^{2} + CD^{2} = 20^{2} + 15^{2} = 25^{2} = BC^{2}$,
$\therefore \angle CDB = 90^{\circ}$,
$\therefore S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot AD = \frac{1}{2} × 16 × 12 = 96$,
$S_{\triangle BDC} = \frac{1}{2}BD \cdot CD = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$,
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BDC} = 96 + 150 = 246$.

例4 如图,在△ABC中,∠ABC = 90°,∠C = 25°,DE是边AC的垂直平分线,连接AE,则∠BAE = ______40°。

答案： 【解析】：在△ABC中，因为∠ABC=90°，∠C=25°，根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-90°-25°=65°。
由于DE是边AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得EA=EC，所以∠EAC=∠C=25°。
因此，∠BAE=∠BAC-∠EAC=65°-25°=40°。
【答案】：40°

7. 如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF。若∠A = 60°,∠ABD = 24°,则∠ACF = ______48°。

答案： $48^{\circ}$

8. 如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为点E,CD平分∠ACB,若∠B = 30°,则∠A的度数为50度。

答案： 50