《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

1. 如图,△ABC为等边三角形,AD = AC,则∠BDC = ______度。
150

答案： 150

2. 如图,∠BOC = 60°,点A是BO延长线上的一点,OA = 10cm,动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,设移动时间为ts,那么当t = $\frac{10}{3}$或 10时,△POQ是等腰三角形。

答案： $\frac{10}{3}$或 10

3. 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,过点B作BD ⊥ AD于点D,E为AC的中点,连接BE,CD,若AC = DC = 3,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为______$\frac{9}{2}$。

答案： 解：延长BD交AC于点F。
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD=FD，AF=AB，即D为BF中点。
∵E为AC中点，AC=3，
∴AE=EC=1.5。
设S_△CDE=x，S_△BDE=y，
∵D为BF中点，
∴S_△BDC=S_△FDC，
∵E为AC中点，
∴S_△AEB=S_△CEB，
阴影部分面积之差=|S_△BDE-S_△AEB|（或反之），
化简得差为S_△ADC。
∵DC=3，AC=3，当DC⊥AC时，S_△ADC最大，
此时S_△ADC=$\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$

4. 如图,已知等边△ABC,延长BC至点D,点E在AB上,使AE = CD,连接DE,交AC于点F,过点E作EG ⊥ AC于点G,求证：FG = $\frac{1}{2}$AC。

答案：
证明: 如图, 延长 $GA$ 到点 $H$, 使 $AH = CF$, 连接 $HE$,
$\because \triangle ABC$ 为等边三角形,
$\therefore \angle BAC = \angle ACB = 60^{\circ}$,
$\therefore \angle HAE = \angle FCD = 120^{\circ}$,
在 $\triangle AHE$ 和 $\triangle CFD$ 中,
$\left\{\begin{array}{l} AH = CF \\ \angle HAE = \angle FCD \\ AE = CD \end{array}\right.$
$\therefore \triangle AHE \cong \triangle CFD(SAS)$,
$\therefore \angle H = \angle CFD = \angle GFE$, $\therefore EH = EF$,
$\because EG \perp AC$, $\therefore GH = GF$,
$\because HG = HA + AG = FC + AG$,
$\therefore AG + FC = FG$, $\therefore FG = \frac{1}{2}AC$.
　　　　　　　

5. 如图,在△ABC中,∠B = 22.5°,边AB的垂直平分线交边BC于D,DF ⊥ AC于F,并与边BC上的高AE交于G,求证：EG = EC。

答案：
证明: 如图, 连接 $AD$,
　　　　　　　
$\because$ 边 $AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于 $D$, $\therefore BD = AD$,
$\therefore \angle BAD = \angle B = 22.5^{\circ}$,
$\therefore \angle ADE = \angle BAD + \angle B = 45^{\circ}$,
$\because AE \perp BC$, $\therefore \angle AEC = \angle AED = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle DAE = 45^{\circ} = \angle ADE$, $\therefore DE = AE$,
$\because DF \perp AC$, $\therefore \angle DFC = 90^{\circ} = \angle AEC$,
$\therefore \angle C + \angle FDC = \angle C + \angle CAE = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle FDC = \angle CAE$,
在 $\triangle DEG$ 和 $\triangle AEC$ 中, $\left\{\begin{array}{l} \angle DEG = \angle AEC \\ DE = AE \\ \angle GDE = \angle CAE \end{array}\right.$,
$\therefore \triangle DEG \cong \triangle AEC(ASA)$, $\therefore EG = EC$.

6. 如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,连接AP,若∠BPC = 40°,求∠CAP的度数。

答案：
解: 如图, 作 $PN \perp BD$, $PM \perp AC$, $PF \perp BA$ 的延长线于点 $F$,
　　　　　　　
设 $\angle PCD = x^{\circ}$, $\because CP$ 平分 $\angle ACD$,
$\therefore \angle ACP = \angle PCD = x^{\circ}$, $PM = PN$,
$\because BP$ 平分 $\angle ABC$, $\therefore \angle ABP = \angle PBC$, $PF = PN$,
$\therefore PF = PM$, $\therefore AP$ 平分 $\angle FAC$, 即 $\angle CAP = \frac{1}{2}\angle FAC$,
$\because \angle BPC = 40^{\circ}$,
$\therefore \angle ABP = \angle PBC = \angle PCD - \angle BPC = x^{\circ} - 40^{\circ}$,
$\therefore \angle BAC = \angle ACD - \angle ABC = 2x^{\circ} - 2(x^{\circ} - 40^{\circ}) = 80^{\circ}$,
$\therefore \angle CAF = 100^{\circ}$,
$\therefore \angle CAP = \angle FAP = \frac{1}{2}\angle CAF = 50^{\circ}$.