《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

4. 解分式方程:
(1) $ \frac{5x + 2}{x^2 + x} = \frac{3}{x + 1} $;
解：去分母，得5x + 2 = 3x，
解得x = - 1，
检验：当x = - 1时，x + 1 = 0，
∴x = - 1是原方程的增根，
∴原方程无解；
(2) $ \frac{x}{x + 2} - 1 = \frac{1}{x - 2} $.
解：去分母，得x(x - 2)-(x + 2)(x - 2)=x + 2，
去括号，得x² - 2x - x² + 4 = x + 2，
移项、合并同类项，得-3x = - 2，
解得x=2/3，
检验：当x=2/3时，(x + 2)(x - 2)≠0，
∴原方程的解为x=2/3．

答案： 解：
(1)去分母，得$5x + 2 = 3x$，
解得$x = - 1$，
检验：当$x = - 1$时，$x + 1 = 0$，
∴$x = - 1$是原方程的增根，
∴原方程无解；
(2)去分母，得$x(x - 2)-(x + 2)(x - 2)=x + 2$，
去括号，得$x^2 - 2x - x^2 + 4 = x + 2$，
移项、合并同类项，得$-3x = - 2$，
解得$x=\frac{2}{3}$，
检验：当$x=\frac{2}{3}$时，$(x + 2)(x - 2)\neq0$，
∴原方程的解为$x=\frac{2}{3}$．

5. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x}{x - 2} = 2 - \frac{m}{2 - x} $ 的解为正数, 求满足条件的正整数 $ m $ 的值.

答案： 解：去分母，得$x = 2(x - 2)+m$，
去括号，得$x = 2x - 4 + m$，
解得$x = 4 - m$，
由题意得$\begin{cases}4 - m\neq2\\4 - m\gt0\end{cases}$，解得$m\lt4$且$m\neq2$，
∵$m$是正整数，
∴$m = 1$或$3$．

1. 在式子 $ \frac{1}{a}, \frac{b}{3}, \frac{c}{a - b}, \frac{2ab}{\pi}, \frac{x}{x^2 - y^2} $ 中, 分式的个数为 (B)
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个

答案： B

2. 若分式 $ \frac{x^2 - 4}{2x - 4} $ 的值为零, 则 $ x $ 的值为 (A)
A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ \pm 2 $
D.$ 0 $

答案： A

3. 下列分式中, 是最简分式的是 (B)
A.$ \frac{3x^2}{4xy} $
B.$ \frac{x^2 + y^2}{x + y} $
C.$ \frac{x - 2}{x^2 - 4} $
D.$ \frac{1 + x}{x^2 + 2x + 1} $

答案： B

4. 下列各式中, 正确的是 (D)
A.$ \frac{a + b}{ab} = \frac{1 + b}{b} $
B.$ \frac{x - y}{x + y} = \frac{x^2 - y^2}{(x + y)^2} $
C.$ \frac{x - 3}{x^2 - 9} = \frac{1}{x - 3} $
D.$ \frac{-x + y}{2} = -\frac{x + y}{2} $

答案： D

5. 化简 $ \frac{a^2 + a b}{a - b} ÷ \frac{a b}{a - b} $ 的结果是 (D)
A.$ a^2 $
B.$ \frac{a^2}{a - b} $
C.$ \frac{a - b}{b} $
D.$ \frac{a + b}{b} $

答案： D

6. 化简 $ \frac{x^2}{x + y} - \frac{y^2}{x + y} $ 的结果是 (C)
A.$ -x - y $
B.$ y - x $
C.$ x - y $
D.$ x + y $

答案： C

7. 已知 $ x = 3 $ 是分式方程 $ \frac{k x}{x - 1} - \frac{2k - 1}{x} = 2 $ 的解, 那么实数 $ k $ 的值为 (D)
A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： D

8. 约分: $ \frac{2x^3 y^2}{-3x^2 y} = $$-\frac{2xy}{3}$.

答案： $-\frac{2xy}{3}$

9. 分式 $ \frac{y - z}{12x}, \frac{x + z}{9xy}, \frac{x - y}{8z^2} $ 的最简公分母是$72xyz^2$.

答案： $72xyz^2$

10. 一项工程, 甲单独做需 $ x $ 小时完成, 乙单独做需 $ y $ 小时完成, 则两人一起完成这项工程需要$\frac{x+y}{xy}$小时.

答案： $\frac{x+y}{xy}$

11. 已知 $ \frac{3a + 1}{a} = 0 $, 求 $ \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 2a} ÷ (a - 1) \cdot \frac{2 - a}{a - 1} $ 的值.

答案： 解：由$\frac{3a + 1}{a}=0$，可得$3a + 1 = 0$，且$a\neq0$，
解得：$a = -\frac{1}{3}$，
原式$=-\frac{(a - 1)^2}{a(a - 2)}\cdot\frac{1}{a - 1}\cdot\frac{a - 2}{a - 1}=-\frac{1}{a}$，
将$a = -\frac{1}{3}$代入，得原式$=3$．

12. 先化简, 再求值: $ \frac{x - 3}{2x - 4} ÷ (\frac{5}{x - 2} - x - 2) $, 其中 $ x = \sqrt{3} - 2 $.

答案： 解：原式$=\frac{x - 3}{2(x - 2)}÷\frac{9 - x^2}{x - 2}$
$=\frac{x - 3}{2(x - 2)}\cdot\frac{x - 2}{(3 + x)(3 - x)}$
$=-\frac{1}{2(3 + x)}$，
∵$x=\sqrt{3}-2$，
∴原式$=-\frac{1}{2×(3+\sqrt{3}-2)}=\frac{1-\sqrt{3}}{4}$．

13. 化简求值: $ (x - \frac{x}{x + 1}) ÷ (1 + \frac{1}{x^2 - 1}) $, 其中 $ x $ 的值是不等式组 $ \begin{cases} 2(x + 1) - 3 ＞ 0 \\ -3x + 2 \geq -4 \end{cases} $ 的整数解.

答案： 解：原式$=\frac{x(x + 1)-x}{x + 1}÷\frac{x^2 - 1 + 1}{x^2 - 1}$
$=\frac{x^2}{x + 1}\cdot\frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}$
$=x - 1$，
解不等式组$\begin{cases}2(x + 1)-3\gt0\\-3x + 2\geq - 4\end{cases}$，得：$\frac{1}{2}\lt x\leq2$，
∴不等式组的整数解为$x = 1$，$2$，
∵当$x = 1$时，原式没有意义，
∴$x = 2$，
∴原式$=2 - 1 = 1$．