《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

14. 若 $ a = - 5, a + b + c = - 5.2 $, 求代数式 $ a ^ { 2 } ( - b - c ) - 3.2 ( c + b ) $ 的值.5.64

答案： 解：原式$=-a^2(b + c) - 3.2(b + c)=-(b + c)(a^2 + 3.2)$，
$\because a = -5$，$a + b + c = -5.2$，
$\therefore b + c = -5.2 - a = -5.2 - (-5) = -0.2$，
$\therefore$ 原式$=-(-0.2)×[(-5)^2 + 3.2] = 0.2×(25 + 3.2) = 0.2×28.2 = 5.64$。

15. 已知 $ a, b, c $ 为 $ \triangle A B C $ 的三边长, 且 $ a ^ { 2 } + b c - a c - b ^ { 2 } = 0 $, 试判断 $ \triangle A B C $ 的形状.

答案： 解：$\because a^2 + bc - ac - b^2 = 0$，
$\therefore (a^2 - b^2) + (bc - ac) = 0$，
$\therefore (a + b)(a - b) + c(b - a) = 0$，
$\therefore (a - b)(a + b - c) = 0$，
$\because a + b ＞ c$（三角形两边之和大于第三边），
$\therefore a + b - c \neq 0$，
$\therefore a - b = 0$，
$\therefore a = b$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形。

1. 若 $ 2023 ^ { 2023 } - 2023 ^ { 2021 } = 2024 × 2023 ^ { n } × 2022 $, 则 $ n $ 的值是2021.

答案： 2021

2. 已知 $ x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $, 则代数式 $ x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 2023 $ 的值为2024.

答案： 2024

3. 已知 $ \triangle A B C $ 的三边长 $ a 、 b 、 c $ 都是正整数, 且满足 $ 2 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 4 a - 6 b + 11 = 0 $, 则 $ \triangle A B C $ 的周长为____7.

答案： 7

4. 设 $ a = 858 ^ { 2 } - 1, b = 856 ^ { 2 } + 1713, c = 1429 ^ { 2 } - 1142 ^ { 2 } $，则将数 $ a 、 b 、 c $ 按从小到大的顺序排列, 结果是____$b ＜ a ＜ c$.

答案： 解：
$a = 858^2 - 1 = (858 - 1)(858 + 1) = 857 × 859$
$b = 856^2 + 1713 = 856^2 + 2 × 856 + 1 = (856 + 1)^2 = 857^2$
$c = 1429^2 - 1142^2 = (1429 - 1142)(1429 + 1142) = 287 × 2571 = 287 × 3 × 857 = 861 × 857$
比较大小：$857^2 ＜ 857 × 859 ＜ 857 × 861$，即 $b ＜ a ＜ c$
$b ＜ a ＜ c$

5. 分解因式: $ ( m ^ { 2 } + 3 m ) ^ { 2 } - 8 ( m ^ { 2 } + 3 m ) - 20 $.

答案： 解：原式$=(m^2 + 3m - 10)(m^2 + 3m + 2)$
$=(m + 5)(m - 2)(m + 1)(m + 2)$

6. 在如今 “互联网 +” 的时代, 密码与我们的生活已经紧密相连, 密不可分. 而诸如 “123456”、生日等设为简单密码又容易被破解, 因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了. 有一种用 “因式分解” 法产生的密码, 方便记忆, 其原理是: 将一个多项式分解因式, 如多项式 $ x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - x - 2 $ 因式分解的结果为 $ ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) $, 当 $ x = 18 $ 时, $ x - 1 = 17, x + 1 = 19, x + 2 = 20 $, 此时可以得到数字密码 171920.
(1) 根据上述方法, 当 $ x = 21, y = 7 $ 时, 对于多项式 $ x ^ { 3 } - x y ^ { 2 } $ 分解因式后可以形成哪些数字密码? (写出三个)
211428、212814、142128
(2) 若一个直角三角形的周长是 24, 其中斜边长为 10, 两条直角边长分别为 $ x 、 y $, 求出一个由多项式 $ x ^ { 3 } y + x y ^ { 3 } $ 分解因式后得到的数字密码; (只需写出一个即可)
48100
(3) 若多项式 $ x ^ { 3 } + ( m - 3 n ) x ^ { 2 } - n x - 21 $ 因式分解后, 利用本题的方法, 当 $ x = 27 $ 时可以得到其中一个数字密码为 242834, 求 $ m 、 n $ 的值.
$m=56$，$n=17$

答案：
(1)解：$x^3 - xy^2 = x(x - y)(x + y)$，当$x = 21$，$y = 7$时，$x - y = 14$，$x + y = 28$，$\therefore$ 可以形成数字密码 211428、212814、142128（答案不唯一）；
(2)解：由题意得：$\begin{cases}x + y = 14 \\ x^2 + y^2 = 100\end{cases}$，$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，$\therefore 14^2 = 100 + 2xy$，解得$xy = 48$，$\because x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$，$\therefore$ 可得到的数字密码为 48100（答案不唯一）；
(3)解：由题意得，当$x = 27$时，密码为 242834，$\therefore$ 因式分解后的三个因式的值分别为 24、28、34，即$x - a = 24$，$x + b = 28$，$x + c = 34$，解得$a = 3$，$b = 1$，$c = 7$，$\therefore x^3 + (m - 3n)x^2 - nx - 21 = (x - 3)(x + 1)(x + 7)$，$\because (x - 3)(x + 1)(x + 7) = (x^2 - 2x - 3)(x + 7) = x^3 + 5x^2 - 17x - 21$，$\therefore \begin{cases}m - 3n = 5 \\ -n = -17\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 56 \\ n = 17\end{cases}$，$\therefore m$、$n$ 的值分别是 56、17。